Teorema de Bolzano-Weierstrass

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de Bolzano-Weierstrass, que deu el seu nom als matemàtics Bernard Bolzano i Karl Weierstrass, afirma que

Tota successió fitada de nombres reals conté alguna successió parcial convergent.

Una successió a1, a2, a3, ... és successió fitada si existeix un nombre real L tal que el valor absolut |an| és inferior a L per a tot índex n. Gràficament es pot imaginar com punts ai representats en una gràfica bidimensional, amb i sobre l'eix horitzontal i el valor sobre el vertical. D'aquesta manera la successió avança cap a la dreta a mesura que creix i, i està fitada si podem dibuixar una banda horitzontal que engloba tots els punts.

Una successió parcial de {an} és una successió formada per alguns termes d'aquesta, sense variar l'ordre. Per exemple, a2, a5, a13, etc.

El teorema es pot generalitzar a successions fitades a ℝn (per inducció i considerant una component cada vegada) i està relacionat amb el teorema de Heine-Borel.

Demostració[modifica | modifica el codi]

En efecte, si per a tot n, aanb (perquè la successió an és fitada) denotem per I0 el conjunt dels nombres reals x que compleixen axb. Llavors dividim I0 en dues meitats i escollim la meitat de la dreta si conté infinits termes de la successió an, en cas contrari, escollim la meitat esquerra. Denotem per I1 la meitat escollida. Aleshores tornem a dividir I1 en dues meitats i n'escollim una aplicant el criteri anterior. Denotem per I2 la meitat escollida. Repetim el procés indefinidament.

D'aquesta manera tenim que tots els conjunts escollits I0, I1, I2, ... contenen infinits termes i a més a més, cadascun d'ells és subconjunt de l'anterior, ja que conté la meitat de termes que l'anterior. És a dir, cada subconjunt Ik té la meitat de llargada que el seu anterior, i per tant, el conjunt Is tindrà una llargada Ls = (ba)/2s. Llavors podem construir una successió {ank} d'elements de Ik amb nk < nk+1 (que vol dir que la successió no s'acaba, ja que a cada Ik sempre hi ha infinits termes de la successió an). A més a més, {ank} és una successió parcial de an. Aquesta successió parcial és una successió de Cauchy ja que, per construcció, si nk < nl aleshores \left|a_{n_k} - a_{n_l}\right| < L_k = (b-a)/2^k. Com que la successió és de Cauchy també és convergent (ja que estem treballant a ℝ que és complet).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]