Teorema de Clairaut

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el teorema de Clairaut (també conegut com a teorema de Schwartz) mostra la igualtat de les derivades creuades d'una funció f sempre que:

f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert A, per exemple, prenguem el punt (a_1, a_2,..., a_n), llavors, segons aquest teorema, per qualsevol 1<i,j<n tenim que:

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).

Aquest teorema deu el seu nom al matemàtic i astrònom francès Alexis Clairaut.

Una conseqüència immediata d'això és que, si es compleixen les condicions del teorema de Clairaut, la matriu hessiana de la funció f serà simètrica.