Teorema de Fubini

El teorema de Fubini, que deu el seu nom a Guido Fubini, estableix que si

$\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,$

aleshores la integral respecte el producte de dos intervals en l'espai $A\times B$, es pot expressar com

$\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=$

$=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y),$

on les dues primeres integrals són integrals simples i on la tercera és una integral sobre el producte dels dos intervals.

A més a més, també es compleix que si

$f(x,y)=h(x)g(y)$

aleshores

$\int_A h(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} h(x)g(y)\,d(x,y) =$

$= \int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y).$

Quan la integral de més amunt no té un valor finit, la integració doble pot donar valors diferents.

El teorema de Tonelli està fortament relacionat amb el de Fubini.

Definició formal

Siguin (X, A, μ) i (Y, B, ν) espais mesurables complets i sigui (X×Y, C, μ×ν) l'espai mesurable producte. Aleshores, per a qualsevol funció mesurable f de X×Y a la recta real extesa (recta real que inclou +∞ i −∞), si f és integrable en μ×ν, això és

$\int_{X\times Y} |f| d(\mu\times \nu) < \infty$

aleshores es compleixen les condicions següents:

1. Per quasi tot x de X, la funció f_x que fa correspondre y (de Y) a f(x, y) és integrable. El mateix succeeix per f_y.

2. La funció definida per

$F_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} \int_{Y}f_x d\nu & \text{si } f_x \text{ es integrable}\\ 0&\text{altrament}\end{array}\right.$

és integrable. El mateix succeeix per F_Y

3. Aquestes integrals satisfan

$\int_XF_Xd\mu = \int_Y F_Yd\nu = \int_{X\times Y} f d(\mu\times\nu)$

Aplicacions

L'avaluació de la integral de Gauß és una de les aplicacions del teorema de Fubini. Això és, que es compleix la següent igualtat

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$

Vegeu també

• Teorema de Clairaut (o Teorema de Schwarz) sobre la simetria de les segones derivades.