Teorema de Fubini

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de Fubini, que deu el seu nom a Guido Fubini, estableix que si

\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,

aleshores la integral respecte al producte de dos intervals en l'espai A\times B, es pot expressar com

\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=
=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y),

on les dues primeres integrals són integrals simples i on la tercera és una integral sobre el producte dels dos intervals.

A més a més, també es compleix que si

 f(x,y)=h(x)g(y)

aleshores

\int_A h(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} h(x)g(y)\,d(x,y) =
= \int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y).

Quan la integral de més amunt no té un valor finit, la integració doble pot donar valors diferents.

El teorema de Tonelli està fortament relacionat amb el de Fubini.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Siguin (X, A, μ) i (Y, B, ν) espais mesurables complets i sigui (X×Y, C, μ×ν) l'espai mesurable producte. Aleshores, per a qualsevol funció mesurable f de X×Y a la recta real estesa (recta real que inclou +∞ i −∞), si f és integrable en μ×ν, això és

\int_{X\times Y} |f| d(\mu\times \nu) < \infty

aleshores es compleixen les condicions següents:

1. Per quasi tot x de X, la funció fx que fa correspondre y (de Y) a f(x, y) és integrable. El mateix succeeix per fy.

2. La funció definida per

 F_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} 
\int_{Y}f_x d\nu & \text{si } f_x \text{ es integrable}\\
0&\text{altrament}\end{array}\right.

és integrable. El mateix succeeix per FY

3. Aquestes integrals satisfan

 \int_XF_Xd\mu = \int_Y F_Yd\nu = \int_{X\times Y} f d(\mu\times\nu)

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

L'avaluació de la integral de Gauß és una de les aplicacions del teorema de Fubini. Això és, que es compleix la següent igualtat

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]