Teorema de Fubini

De Viquipèdia

El teorema de Fubini, que deu el seu nom a Guido Fubini, estableix que si

$\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,$

aleshores la integral respecte el producte de dos intervals en l'espai $A\times B$ , es pot expressar com

$\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=$

$=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y),$

on les dues primeres integrals són integrals simples i on la tercera és una integral sobre el producte dels dos intervals.

A més a més, també es compleix que si

f (x, y) = h (x) g (y)

aleshores

$\int_A h(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} h(x)g(y)\,d(x,y) =$

$= \int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y).$

Quan la integral de més amunt no té un valor finit, la integració doble pot donar valors diferents.

El teorema de Tonelli està fortament relacionat amb el de Fubini.

[edita] Definició formal

Siguin (X, A, μ) i (Y, B, ν) espais mesurables complets i sigui (X×Y, C, μ×ν) l'espai mesurable producte. Aleshores, per a qualsevol funció mesurable f de X×Y a la recta real extesa (recta real que inclou +∞ i −∞), si f és integrable en μ×ν, això és