Teorema de Green

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En física i matemàtiques,el teorema de Green dóna la relació entre una integral de línia al voltant d'una corba tancada simple C i una integral doble sobre la regió plana D limitada per C . El teorema de Green es diu així pel científic britànic George Green i és un cas especial del més general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sigui C una corba tancada simple positivament orientada, diferenciable per trossos, en el pla i sigui D la regió limitada per C . Si L i M tenen derivades parcials contínues en una regió oberta que conté D ,


\int_{C}L\, dx+M\, dy =\int\!\!\!\int_{D}\left (\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA


A vegades la notació

\oint_{C}L\, dx+M\, dy

s'utilitza per establir que la integral de línia està calculada usant l'orientació positiva (antihorària) de la corba tancada C .

Prova del teorema de Green quan D és una regió simple[modifica | modifica el codi]

Regió simple

Si demostrem que les equacions 1 i 2

 EQ.1 =\int_{C}L dx =\int_\!\!\!\int_{D}\left (-\frac{\partial L}{\partial y}\right) dA

i

 EQ.2 =\int_{C}M\, dy =\int_\!\!\!\int_{D}\left (\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA

són correctes, vam provar el teorema de Green.

Si expressem D com a regió tal que:

 D =\{(x, y)|a\le x\le b, G_1 (x)\le i\le G_2 (x)\}\,


on g 1 i g 2 són funcions contínues, podem computar la integral doble de l'equació 1:

 EQ.4 =\int\!\!\!\int_{D}\left (-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA = -\int_a^b\!\!\int_{G_1 (x)}^{G_2 (x)}\left (\frac{\partial L}{\partial y}(x, y)\, dy\, dx\right) = -\int_a^b [L (x, G_2 (x)) - L (x, G_1 (x))]\, dx :  = -\int_a^b [L (x, G_2 (x) )]\, dx+\int_a^b [L (x, G_1 (x))]\, dx


Ara particions C com la unió de quatre corbes: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .


Amb C 1 , s'utilitzen les equacions paramètriques, x = x , i = g 1 ( x ), axb . Per tant:


\int_{C_1}L (x, y)\, dx =\int_a^b [L (x, G_1 (x))]\, dx


Amb C 3 , s'utilitzen les equacions paramètriques, x = x , i = g 2 ( x ), axb . Llavors:

\int_{C_3}L (x, y)\, dx = -\int_{-C_3}L (x, y)\, dx = -\int_a^b [L (x, G_2 (x) )]\, dx

Amb C 2 i C 4 , x és una constant, significant:

\int_{C_4}L (x, y)\, dx =\int_{C_2}L (x, y)\, dx = 0

Per tant,

\int_{C}L\, dx =\int_{C_1}L (x, y)\, dx+\int_{C_2}L (x, y)\, dx+\int_{C_3}L (x, y)+\frac{C_4}L (x, y)\, dx


 = -\int_a^b [L (x, G_2 (x))]\, dx+\int_a^b [L (x, G_1 (x))]\, dx

Combinant això amb l'equació 4, tenim:

\int_{C}L (x, y)\, dx =\int\!\!\!\int_{D}\left (-\frac{\partial L}{\partial y}\right )\, dA

Una prova similar es pot emprar en la Eq.2.

Relació amb el teorema de la divergència[modifica | modifica el codi]

El teorema de Green és equivalent a la següent analogia bidimensional del teorema de la divergència:

\iint_D\left (\nabla\cdot\mathbf{F}\right) dA =\int_C\mathbf{F}\cdot\mathbf{\hat n}ds,

on \mathbf{\hat n} és el inversor normal sortint a la frontera.

Per veure això, consideri la unitat normal en la part dreta de l'equació. Com  d\mathbf{r}=\langle dx, dy\rangle és un vector apuntant tangencialment a través d'una corba, i la corba C està orientada de manera positiva (és a dir, en contra del sentit de les agulles del rellotge) a través de la frontera, un vector normal sortint seria aquell que apunta a 90 º cap a la dreta, el qual podria ser \langle dy,-dx\rangle . El mòdul d'aquest vector és \sqrt{dx^2+dy^2}= ds . Per tant \mathbf{\hat n}ds =\langle dy,-dx\rangle .

Prenent els components de \mathbf{F}=\langle P, Q\rangle , el costat dret es converteix en

\int_C\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}ds =\int_C P dy - Q dx

que per mitjà del teorema de Green és:

\int_C-Q dx+P dy =\iint_{D}\left (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA =\iint_D\left (\nabla\cdot\mathbf{F}\right) dA

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teorema de Green Modifica l'enllaç a Wikidata

Llibres recomanats

Càlcul multivariable [quarta edició] autor: James Stewart