Teorema de Linnik

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de Linnik en teoria analítica dels nombres respon a una qüestió que sorgeix de forma natural a partir del teorema de Dirichlet. Afirma que, si es nota p(a,d) el nombre primer més petit de la progressió aritmètica

a + nd\,,

per a un nombre enter n> 0, on a i d són qualsevulla enters positius primers entre ells tals que 1 ≤ ad, existeixen nombres c i L positius tals que:

 p(a,d) < c d^{L}\,.

El teorema s'anomena així en honor a Yuri Vladimirovich Linnik (1915-1972) qui el va demostrar el 1944.[1][2] Tot i que la demostració de Linnik demostra que c i L són efectivament calculables, no va donar cap valor numèric per questes constants.

La constant L s'anomena la constant de Linnik la següent taula presenta els progressos que s'han ant fent per determinar el seu valor.

L ≤ Any de publicació Autor
10000 1957 Pan[3]
5448 1958 Pan
777 1965 Chen[4]
630 1971 Jutila
550 1970 Jutila[5]
168 1977 Chen[6]
80 1977 Jutila[7]
36 1977 Graham[8]
20 1981 Graham[9] (presentat per a publicació abans de l'article de Chen del 1979)
17 1979 Chen[10]
16 1986 Wang
13.5 1989 Chen and Liu[11][12]
5.5 1992 Heath-Brown[13]

A més, segons els resultats de Heath-Brown la constant c és efectivament calculable.

Se sap que L ≤ 2 quasi per a tots els enters d.[14]

Amb la hipòtesi generalitzada de Riemann es pot demostrar que

 p(a,d) \leq \varphi(d)^2 \ln^2 d \; ,

on \varphi és la funció Fi d'Euler.[13]

També s'ha conjecturat que:

 p(a,d) < d^2 \; .[13]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139-178
  2. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347-368
  3. Pan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311-313
  4. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868-1871
  5. Jutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp.
  6. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529-562
  7. Jutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45-62
  8. Applications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977
  9. Graham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163-179
  10. Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859-889
  11. Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654-673
  12. Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792-807
  13. 13,0 13,1 13,2 Heath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265-338
  14. E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.