Teorema de Parseval

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el teorema de Parseval demostra que la Transformada de Fourier és unitària, és a dir, que la suma (o la integral) del quadrat d'una funció és igual a la suma (oa la integral) del quadrat de la seva transformada. Aquesta relació procedeix d'un teorema de 1799 sobre sèries, el creador va ser Marc Antoine Parseval. Aquesta relació es va aplicar més tard a les Sèries de Fourier.

Encara que el teorema de Parseval se sol usar per indicar la unicitat de qualsevol transformada de Fourier, sobretot en física i enginyeria, la forma generalitzada d'aquest teorema és la Relació de Plancherel.

Fórmula[modifica | modifica el codi]

En física i enginyeria, la relació de Parseval se sol escriure com:

 \int_{- \infty}^{\infty}|f (t)|^2 dt = \int_{- \infty}^{\infty}|\mathcal{F}[f (t)] (\alpha)|^2 d \alpha
On  \mathcal{F}[f (t)] (\alpha) representa la transformada contínua de Fourier de x ( t ) i f representa la freqüència (en hertz s) de x .

La interpretació d'aquesta fórmula és que l'energia total del senyal x ( t ) és igual a l'energia total de la seva transformada de Fourier X ( f ) al llarg de totes les seves components freqüencials.

Per senyals de temps discret, la relació és la següent:

 \sum_{n = - \infty}^{\infty}|x [n]|^2 = \int_{- \pi}^{\pi}|X (e^{j \phi})|^2 d \phi
On X és la transformada de Fourier de temps discret (DTFT) de x i φ representa la freqüència angular (en radians) d ' x .

D'altra banda, per a la transformada discreta de Fourier (DFT), la relació és:

 \sum_{n = 0}^{N-1}|x [n]|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}|X [k]|^2
On X [ k ] és la DFT de x [ n ], ambdues de longitud N .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Teorema de Parseval» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]