Teorema de Shannon-Hartley

El teorema de Shannon-Hartley és una aplicació del teorema de codificació per canals amb soroll. Un dels casos més freqüents és el d'un canal continu en el temps que presenta un soroll gaussià.

El teorema fixa la capacitat màxima de informació digital d'un canal amb soroll gaussià que pot ser transmesa sense error. Aquesta llei deu el seu nom a Claude E. Shannon i Ralph Hartley.

Formulació matemàtica del teorema

Considerant qualsevol estratègia de transmissió de dades, el teorema de Shannon-Hartley indica que la capacitat de canal C és:

$C = B \log_2 \left( 1+\frac{S}{N} \right)$

on:

• $B$ és l'ample de banda del canal (en unitats de Hz).
• $C$ és la capacitat del canal (en unitats de bits/s)
• $S$ és la potència del senyal (en unitats de W, mW, etc.)
• $N$ és la potència del sorll del canal (en unitats de W, mW, etc.).

Es té en compte que C és la taxa màxima teòrica de dades trasmeses sense error que poden esser enviades, amb una determinada potència mitja del senyal S, a traves d'un canal de comunicacions analògic que té soroll blanc de potència N

Teorema de Shannon-Hartley

El teorem de Shannon-Hartley estableix quina és la capacitat d'un canal amb ample de banda finit i un senyal continu que pateix soroll gaussià. És una sintesis entre la lley de Hartley amb el teorema de Shannon.

Si existís un canal amb ample de banda infinit i sense soroll, es podria transmetre quantitats iŀlimitades de dades sense errors en una quantitat de temps. Tot i així, els canals de comunicació reals tenen limitacions degut a l'ample de banda finit i el soroll.

Llavors, com afecta l'ample de banda i el soroll a la cantitat d'informació que es pot transmetre sobre un canal analògic?

Cal dir, que l'ample de banda per si sola no imposa restriccions sobre la capacitat màxima d'informació sobre un canal, sinó que está relacionat amb les limitacions del voltatge del senyal, és a dir, cada valor de voltatge diferent que pot tenir el senyal analògic equival a una seqüència de bits diferent, de manera que per un senyal de valors de voltatge infinits, la capacitat del canal és infinita. Així, la limitació bé donada per la impossibilitat de generar un senyal amb valors de voltatge infinit.

En el canal considerat pel teorema de Shannon-Hartley, el soroll i el senyal es sumen, provocant una diferencia entre el senyal original i el resultant.

Si el receptor té certa informació sobre el procés aleatori que genera el soroll, es pot pot recuperar la informació del senyal original. En el cas del teorema de Shannon-Hertley, s'assumeix que el soroll és general per un procés gaussià amb una variança coneguda. Com que la variança del procés gaussià és equivalent a la seva potència, normalment s'anomena a la variança potencia de soroll.

Enllaços externs

• A Mathematical Theory of Communication
• A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits
• Communication in the Presence of Noise
• The relationship between information, bandwidth and noise
• On-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms
• El Teorema de la Capacidad Máxima de un Canal
• Information Entropy