Teorema de Sturm

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de Sturm permet calcular el nombre d'arrels reals diferents d'una funció polinòmica compreses en un interval donat. Aquest teorema fou establert el 1829 per Charles Sturm.

Enunciat del teorema[modifica | modifica el codi]

El nombre d'arrels reals diferents en un interval [a,b] d'un polinomi amb coeficients reals, del qual a i b no són arrels, és igual a la diferència del nombre de canvis de signe de la successió de Sturm als extrems d'aquest interval.

Successió de Sturm[modifica | modifica el codi]

La successió de Sturm o cadena de Sturm es construeix a partir dels polinomis P_0=P~ i de la seva derivada P_1=P^\prime

P=x^n + \ldots + a_1 x + a_0
P^\prime=n*x^{(n-1)} + \ldots + a_1

Aquesta successió és la seqüència de resultats intermedis que s'obté aplicant l'algorisme d'Euclides a P_0~ i la seva derivat P_1~.

Per obtenir aquesta successió es calcula:

\begin{matrix}
P_0&=&P_1 * Q_1 - P_2\\
P_1&=&P_2 * Q_2 - P_3\\
&\ldots&\\
\end{matrix}

Els Pi són per tant els oposats dels residus successius de la divisió dels dos termes precedents de la successió. Si P~ només té arrels diferents, l'últim terme és una constant no nula. Si aquest terme és nul, P~ admet arrels múltiples, i en aquest cas es pot aplicar el teorema de Sturm fent servir la successió T_0, T_1, \ldots, T_{r-2}, 1 que s'obté dividint P_1, P_2, \ldots, P_{r-1}\ entre\ P_{r-1}.

Si es nota \sigma(\xi)~ el nombre de canvis de signe (el zero no es compta com un canvi de signe) en la successió

P(\xi), P_1(\xi), P_2(\xi),\ldots, P_r(\xi).

el teorema de Sturm diu que per a dos nombres reals a, b~, a<b~, a i b no són arrels de P, el nombre d'arrels en l'interval [a,b]~ és:

\sigma(a)-\sigma(b)~.

Es pot utilitzar aquest teorema per calcular el nombre d'arrels reals diferents escollint de manera apropiada les fites a~ i b~, per exemple, totes les arrels reals d'un polinomi són dins l'interval [-M, M]~ amb:

M=\max(1, \sum |a_i|).

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]