Teorema de Taylor

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el seu nom del matemàtic britànic Brook Taylor, qui el va enunciar al 1712. Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït al voltant d'un punt a: I (a, d) mitjançant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funció en aquest punt. En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és derivable n vegades en l'interval tancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es compleix que:


 f(x) = f(a)
 + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
 + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
 + \cdots
 + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
 + R

On, n! denota el factorial de n, i R és la resta, terme que depèn x i és petit si x està pròxim al punt a. Existeixen dues expressions per a R que s'esmenten a continuació:


 R = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

on ξ (valor comprès entre x i a) , a i x pertanyen als reals, i n als naturals.


 R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt

Si R és expressat de la primera forma, se l'anomena Terme complementari de Lagrange, atès que el teorema de Taylor s'exposa com una generalització del Teorema del valor mitjà del càlcul diferencial, mentre que la segona expressió de R mostra el teorema com una generalització del Teorema fonamental del càlcul integral.

Per a algunes funcions f(x), es pot provar que la resta, R, s'aproxima a zero quan n s'acosta a ∞; aquestes funcions poden ser expressades com a sèries de Taylor en un entorn reduït al voltant d'un punt a i són denominades funcions analítiques.

El teorema de Taylor amb R expressat de la segona forma és també vàlid si la funció fnombres complexos o valors vectorials. A més existeix una variació del teorema de Taylor adaptat a funcions amb múltiples variables.

Propietat del residu[modifica | modifica el codi]

Es pot demostrar que el residu compleix la propietat que \lim_{x \to c} \frac {R_n (x)}{(x-c)^n}=0. Vol dir que, en les condicions del teorema, sempre existirà un entorn de c en el qual es pot fer l'error màxim tan petit com es vulgui.

Es pot demostrar de la següent manera:

Es defineix el residu com a R_n (x)= f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k , o sigui la diferència entre l'aproximació de grau n i la funció original. Així \lim_{x \to a} \frac {R_n (x)}{(x-a)^n}= \lim_{x \to a} \frac {f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k}{(x-a)^n}=\frac{0}{0} , ja que els termes del numerador són tots nuls excepte els dos primers, que són oposats per a x=a. Aquesta indeterminació es pot desfer aplicant la regla de l'Hopital reiteradament: \lim_{x \to a} \frac {R_n (x)}{(x-a)^n}= \lim_{x \to a} \frac {f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k}{(x-a)^n}= \lim_{x \to a} \frac {f'(x)- \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}k(x - a)^{k-1}}{n(x-a)^{n-1}}=...  \lim_{x \to a} \frac {f^{(n)}(x)- \frac{f^{(n)}(a)}{n!}n!(x - a)^0}{n!} =\frac {1}{n!} \lim_{x \to a} \left( f^{(n)}(x) - f^{(n)}(a)\right)= 0

Si el valor de ξ del terme complementari de Lagrange és el màxim de l'interval, s'obté el valor màxim de l'error comès en aproximar una funció pel seu polinomi de Taylor a l'entorn de x=a.

Un altra qüestió ben diferent és veure quant gros és aquest entorn de validesa de l'aproximació, si a qualsevol punt x, la sèrie de Taylor serà convergent i per tant vàlida per a calcular el valor de la funció en aquell punt. Per saber on és possible, s'ha de fer un estudi del radi de convergència de la sèrie.