Teorema de Wilson

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de Wilson (atribuït a John Wilson (1741-1793) estableix que, el nombre enter p és primer si, i només si,

(p - 1)! \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)

això és, si i només si, (p - 1)! + 1 és divisible entre p.


El teorema de Wilson recull el fet que p és primer si, i només si, l'anell \mathbb{Z}_{p} és íntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant 1 com p - 1 són els únics elements que són inversos de sí mateixos, el producte

(p - 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p - 2) \cdot (p - 1)

conté \frac{p - 3}{2} parelles d'elements amb el seu invers. En conseqüència,

(p - 1)! = 1 \cdot (2 \cdot 3 \cdots (p - 2)) \cdot (p - 1) = 1 \cdot (1 \cdot 1 \cdots 1) \cdot (p - 1) = p - 1 \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)

  • Si p no és primer i p = q \cdot r amb, posem, q < r, com que q < r < p, és clar que, a \mathbb{Z}_{p}, s'esdevé que q \cdot r \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p) i, per tant, (p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p).
  • Si p no és primer, però és la potència k d'un nombre primer q, aleshores, excepte el cas p = 4 = 2^2, el nombre de vegades que apareix el factor q a (p - 1)! no és inferior a k. En conseqüència, també (p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p).
  • (4 - 1)! = 3! = 6 \equiv 2 \neq -1 \ (\hbox{mod}\ 4)