Teorema de Wilson

El teorema de Wilson (atribuït a John Wilson (1741-1793) estableix que, el nombre enter $p$ és primer si, i només si,

$(p - 1)! \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)$

això és, si i només si, $(p - 1)! + 1$ és divisible entre $p$ .

El teorema de Wilson recull el fet que $p$ és primer si, i només si, l'anell $\mathbb{Z}_{p}$ és íntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant $1$ com $p - 1$ són els únics elements que són inversos de sí mateixos, el producte

$(p - 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p - 2) \cdot (p - 1)$

conté $\frac{p - 3}{2}$ parelles d'elements amb el seu invers. En conseqüència,

$(p - 1)! = 1 \cdot (2 \cdot 3 \cdots (p - 2)) \cdot (p - 1) = 1 \cdot (1 \cdot 1 \cdots 1) \cdot (p - 1) = p - 1 \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)$

Si $p$ no és primer i $p = q \cdot r$ amb, posem, $q < r$ , com que $q < r < p$ , és clar que , a $\mathbb{Z}_{p}$ , s'esdevé que $q \cdot r \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p)$ i, per tant, $(p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p)$ .

Si $p$ no és primer, però és la potència $k$ d'un nombre primer $q$ , aleshores, excepte el cas $p = 4 = 2^2$ , el nombre de vegades que apareix el factor $q$ a $(p - 1)!$ no és inferior a $k$ . En conseqüència, també $(p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p)$ .