Teorema de convolució

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier. En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).

Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb  f * g \,. (Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol  \otimes \,). Sigui  \mathcal{F} \, l'operador de la transformada de Fourier, de manera que  \mathcal{F}[f] i  \mathcal{F}[g] són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.

Llavors

\mathcal{F}[f*g]=\sqrt{2\pi} (\mathcal{F}[f]) \cdot (\mathcal{F}[g])

on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:

\mathcal{F}[f*g]=\sqrt{2\pi} (\mathcal{F}[f]) \cdot (\mathcal{F}[g])


Aplicant la transformada inversa de Fourier  \mathcal{F}^{-1}, podem escriure:

f*g=\sqrt{2\pi} \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]]

Demostració[modifica | modifica el codi]

La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de  \sqrt{2 \pi} que aquí, són inconvenients. Siguin  f, g \in L^1 (\mathbb{R}^n)

Siguin  F \, la transformada de Fourier de  f \, i  G \, la transformada de Fourier de  g \,:

 F (\omega) = \int_{\mathbb{R}^n}f (x) e^{-2 \pi ix \cdot \omega}\, dx
 G (\omega) = \int_{\mathbb{R}^n}g (x) e^{-2 \pi ix \cdot \omega}\, dx .

Sigui  h \, la convolució de  f \, i  g \,

h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x.

Nota:

 \int \int|f (z) g (xz)|\, dx \, dz = \int|f (z)|\int|g (zx)|\, dx \, dz = \int|f (z)|\, \|g \|_1 \, dz = \|f \|_1 \|g \|_1.

Pel teorema de Fubini tenim que  h \in L^1 (\mathbb{R}^n) , així que la seva transformada de Fourier està definida.

Sigui  H \, la transformada de Fourier de  h \,:

H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\omega}\, dz = \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \omega}\, dz.

Tenint en compte que  |f(x)g(z-x)e^{-2\pi i z\cdot\omega}|=|f(x)g(z-x)| i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:

H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\left(\int_{\mathbb{R}^n} g(z-x)e^{-2 \pi i z\cdot \omega}\,dz\right)\,dx.

Substituint  y = z - x \,; tenim  dy = dz \,, i per tant:

H(\omega) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i (y+x)\cdot\omega}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \omega} \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\omega}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \omega}\,dx \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\omega}\,dy.


Aquestes dues integrals són les definicions de  F (\omega) i  G (\omega) , així que:

 H (\omega) = F (\omega) \cdot G (\omega).

Que és el que volíem demostrar.