Teorema de les unitats de Dirichlet

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En teoria de nombres algebraics, el teorema de les unitats de Dirichlet determina l'estructura del grup de les unitats d'un cos de nombres dels enters algebraics d'un cos de nombres K . El grup de les unitats designa el conjunt dels elements invertibles d'un anell commutatiu unitari. Un cos de nombres és una extensió finita dels nombres racionals Q , és a dir un subcos dels nombres complexos C que, en tant que espai vectorial sobre Q és de dimensió finita. Un enter algebraic del cos de nombres és un element el polinomi mínim del qual és de coeficients en Z, l'anell dels nombres enters.

El teorema de les unitats estipula que el grup de les unitats és isomorf al producte d'un grup cíclic i d'un grup abelià finit. Si r1 designa el nombre de morfismes injectius del cos K en R el cos dels nombres reals i r2 el nombre de parelles de morfismes injectius conjugats del cos K en el conjunt C , llavors la dimensió del grup finit és igual a r1 + r2 - 1. El grup cíclic és un subgrup del grup de les arrels de la unitat.

Definicions i teorema[modifica | modifica el codi]

L'expressió del teorema de les unitats de Dirichlet fa servir de vegades la noció de lloc . En el cas general:

  • Un lloc d'un cos K en un cos L és una aplicació de K adjunt del valor infinit en L adjunt del mateix valor i respectant l'addició i la multiplicació. S'utilitzen les convencions x + ∞ = ∞ si x és un element del cos, x.∞ = ∞ si x és un element no nul del cos i ∞.∞ = amb ∞+∞ = ∞.[1] Si K és una extensió finita de Q , llavors la teoria de Galois indica que existeixen tants llocs de K amb valors en C com la dimensió de K en tant que espai vectorial sobre Q (vegeu l'article Extensió de Galois). Si un lloc té per imatge un subcos de C que no està inclòs en R , llavors la composició de l'aplicació conjugada i del lloc també és un lloc. Així es pot separar els r1 llocs amb valors reals dels r2 parelles de llocs conjugats amb valors complexos. A més r1 + 2r2 és igual a la dimensió de K sobre Q . El teorema de les unitats de Dirichlet s'és expressat de la manera següent:
  • el agrup E(K ) de les unitats de l'anell dels enters OK d'un cos de nombres és isomorf al producte directe d'un grup cíclic i d'un grup abelià finit de dimensió r1 + r2 - 1 on r1 designa el nombre de llocs reals i r2 el nombre de parelles de llocs complexos.

Un grup abelià de tipus finit i de dimensió n és isomorf a Zn.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Article principal: Enter quadràtic

Es considera la clausura entera d'un cos quadràtic, és a dir el conjunt dels enters algebraics sobre Q d'una extensió quadràtica de Q .

Si aquest anell conté elements amb component imaginari no nul, llavors r1 és igual a zero i r2 a un , el grup de les unitats és un grup cíclic finit, conté en general dos elements excepte per als enters de Gauss i els de d'Eisenstein. Aquests anells d'enters quadràtics són les úniques clausures integrals d'un cos de nombres que tenen un grup de unitats d'ordre finit (no igual a 2).

Si aquest anell s'inclou en el cos dels reals, r1 és igual a dos i r2 a zero . El grup és el producte directe d'un grup cíclic amb dos elements i d'un grup isomorf a Z . Aquesta situació és per exemple la dels enters de Dirichlet. L'equació de Pell-Fermat es resol amb l'ajuda de la determinació del grup de les unitats d'un cos quadràtic real.

A l'article principal detallat es donarà una demostració del teorema en el cas particular dels enters quadràtics.

Demostració[modifica | modifica el codi]

Preliminars[modifica | modifica el codi]

és equivalent al de l'anàlisi del grup de les classes d'ideals d'OK. Breument:

Els elements del grup de Galois del cos de descomposició de K (l'extensió de Galois més petita que conté K ) es noten σ1... σd. La numeració segueix l'ordre següent: els automorfismes amb valors reals es numeren d'1 a r1, si 2r2 designa el nombre d'automorfismes que tenen un component imaginari no nul, llavors el conjugat de la funció σr1 + n és σr1 + r2 + n.

El conjunt KR designa l'espai vectorial Rr1 x Cr2 i Σ el morfisme de Q àlgebra seguint:

\Sigma : \quad \begin{align}\mathbb K \ & \longrightarrow \mathbb K_{\mathbb R} = \mathbb R^{r_1} \times \mathbb C^{r_2} \\ \alpha \ & \longrightarrow \Sigma(\alpha)= \big((\sigma_1(\alpha),\cdots ,\sigma_{r_1 + r_2}(\alpha)\big) \end{align}

es defineix igualment una funció NR de KR amb valors en R per:

\mathcal N_{\mathbb R} : \quad \begin{align}\mathbb K_{\mathbb R} \ & \longrightarrow \mathbb R \\ x \ & \longrightarrow \mathcal N_{\mathbb R}(x)= |x_1|\cdot \; \cdots \; \cdot |x_{r_1}|\cdot |x_{r_1 +1}|^2\cdot \;\cdots \; \cdot |x_{r_1 + r_2}|^2 \end{align} \quad \text{amb}\quad x =(x_1,\cdots,x_{r_1 + r_2})

La norma NR correspon a la mitjana geomètrica dels diferents valors absoluts o mòduls si la coordenada és complexa.

Si NK designa la funció que a un element de K li associa la seva norma relativa element de Q , s'obté el diagrama commutatiu:

\begin{matrix} & \mathbb K & \xrightarrow{\Sigma} & \mathbb K_{\mathbb R} \\ \mathcal N_{\mathbb K /\mathbb Q} & \downarrow & & \downarrow & \mathcal N_{\mathbb R} \\ & \mathbb Q & \xrightarrow{|\cdot |} & \mathbb R \end{matrix}

Es proveeix KR de la norma següent:

\|\cdot\| : \quad \begin{align}\mathbb K_{\mathbb R} \ & \longrightarrow \mathbb R_+ \\ x \ & \longrightarrow \|x\|= |x_1| + \cdots + |x_{r_1}| + 2|x_{r_1 +1}|+\cdots +2|x_{r_1 + r_2}| \end{align}

Imatge i nucli del morfisme restringit a E(K)[modifica | modifica el codi]

L'isomorfisme ve donat per l'aplicació :  Log : E(K) \rightarrow\mathbb{R}^r\times\mathbb{R}^s  \epsilon\mapsto(log\mid\sigma(\epsilon)\mid)_{\sigma(K)\subset\mathbb{R}}\times(log\mid\sigma(\epsilon)\mid)_{\sigma(K)\subset\mathbb{C}} La imatge està indexada per a immersió dels reals de K (r primers components), i per la tria d'un representant de cada parella de immersió complex conjugat (s últims components).

La idea de la demostració és d'ensenyar que les arrels de la unitat formen el nucli d'aquest morfisme, i que la imatge és un graella d'un hiperplà de l'espai d'arribada, via el teorema de Minkowski.

Aquesta caracterització de r1 i de r2 es basa en el fet que existeixen n maneres d'incloure (o de submergir, d'aquí el terme immerssió ) K al cos dels nombres complexos, on n = [K : Q]\, és el grau del cos K . Aquestes immersions poden ser incloses al cos dels nombres reals, o posen no ser-ho pas; i aquest últim tipus de immersió succeeix per parells enllaçades per la conjugació complexa. Així : n = r_1 + 2 r_2.

En el cas d'un cos quadràtic real, el rang del grup de les unitats és doncs 1 (0 en el cas complex). La teoria de les unitats per als cossos quadràtics reals és essencialment la teoria de l'equació de Pell-Fermat. Per a tot cos de nombres diferent de \mathbb{Q} ell mateix i els cossos quadràtics imaginaris, el rang del grup de les unitats és >0.

La mida de les unitats es mesura per un cert determinant, anomenat regulador. D'altra banda, el càlcul de bases per a la part lliure del grup de les unitats és efectiva, però xoca a la pràctica amb la complexitat dels càlculs a mesura que el grau del cos K augmenta (els problemes sobrevenen generalment abans del grau 100).

El teorema admet generalitzacions en diversos eixos: estudi del grup de les S-unitats , per a S un conjunt d'ideals primers, és a dir, grollerament parlant, dels elements els components dels quals seguint tots els factors són inversibles, excepte un cert nombre prescrit; o molts caràcters per a l'acció d'un grup de Galois sobre aquests grups d'unitats.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Samuel, Pierre. Théorie algébrique des nombres. 

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Aquesta definició es troba per exemple a la pàgina I 5 del lloc web Nombres algebraics i nombres p-adics per Loïc Merel curs preparatori en els estudis doctorals 2003-04

Vincle extern[modifica | modifica el codi]