Teorema de probabilitats totals

El Teorema de probabilitats totals afirma el següent:

Sigui $A_1, A_2, ..., A_n$ una partició sobre l'espai mostral i sigui $B$ un succés qualsevol del qual es coneixen les probabilitats condicionals $P (B|A_i)$, llavors la probabilitat de l'èxit $B$ ve donada per l'expressió:

$P (B) = \sum_{i = 1}^{n}P (B|A_i) P (A_i)$

Fórmula de probabilitats totals

• Donat un espai de probabilitats $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}).$ Si $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ és un sistema exhaustiu (finit o numerable) d'esdeveniments, i si, per qualsevol $\scriptstyle\ i \in I,$ $\scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) \neq 0,$ llavors, per a tot esdeveniment $\scriptstyle\ A,$ tenim

$\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i).$

Notes

• Si quan $\scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) = 0,\$ es defineix $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ posa problema : $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ seria la probabilitat condicional de $\scriptstyle\ A\$ i sabent un esdeveniment que no es produeix mai, a saber, $\scriptstyle\ B_i.$ La definició habitual de $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ portaria llavors a dividir per 0. .. Una convenció que rarament és nociva consistiria en assignar a $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ un valor arbitrari entre 0 i 1: Mai no caldrà predir la probabilitat de l'esdeveniment $\scriptstyle\ A\$ sabent $\scriptstyle\ B_i,\$ ja que $\scriptstyle\ B_i\$ no es produirà mai, així que, assignar a $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ un valor arbitrari no causarà cap error. D'altra banda, en la fórmula de probabilitats totals, assignar a $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ un valor arbitrari entre 0 i 1 no és important, ja que es multipliqca llavors aquest valor per $\scriptstyle\ 0=\mathbb{P}(B_i).\$ En resum, amb aquest conveni, la hipòtesi $\scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) \neq 0\$ és superflua per a la fórmula de probabilitats totals.
• La hipòtesi per la que $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ és un sistema exhaustiu pot perdre pes: $\scriptstyle\ \cup_{\,i \in I}B_i=\Omega\$ pot ser substituït per $\scriptstyle\ \cup_{\,i \in I}B_i\supset A.\$

Una variant

Teorema

Donat un espai de probabilitats $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ i un esdeveniment A. Si $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ és una partició (finita o numerable) de l'esdeveniment B,

$\mathbb{P}(A|B) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B).$

Demostració

$\begin{align} \mathbb{P}(A\cap B) &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i) \\ &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i) \\ &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B)\mathbb{P}(B), \end{align}$

ja que $\scriptstyle\ B_i\cap B=B_i.\$ CQFD

Corol·lari

• Si $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ és una partició (finita o numerable) de l'esdeveniment B, i si $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ no depèn de i, llavors el valor comú de les probabilitats condicionals $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ és $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B).\$

Demostració

Si x el valor comú de les probabilitats condicionals $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i).\$ Llavors

$\begin{align} \mathbb{P}(A|B) &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B) \\ &= x\ \sum_{i \in I} \mathbb{P}(B_i|B) \\ &= x. \end{align}$

CQFD

Aquest corol·lari permet reduir el càlcul de $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B)\$ a calcular $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i),\$ de vegades més fàcil, perquè l'esdeveniment B _i , sent més petit que l'esdeveniment B, ofereix informació més precisa, i facilita la predicció de (pronòstic = càlcul de de probabilitat condicional). Això passa sovint quan s'estudien dues cadenes de Markov, en que una és la imatge de l'altra. La demostració de la propietat de Markov per als processos de Galton-Watson n'és un exemple entre d'altres.