Teorema de Tales

Hi ha dos teoremes que reben el mateix nom de teorema de Tales:

Primer Teorema [modifica]

El primer diu el següent:

Siguin dues rectes (d) i (d') orientades i concurrents en un punt O. I siguin A i A' dos punts de (d), i B i B' dos punts de (d').

Llavors:

$\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{OB'}}{\overline{OB}}\iff (AB)//(A'B')$

Una altra forma de dir-ho: si dues rectes concurrents són tallades per un sistema rectes, aleshores aquestes són paral·leles, només si, els segments determinats a les rectes concurrents són proporcionals (a/b=c/d, a/c=b/d)

És a dir que la igualtat dels quocients equival al paral·lelisme. Aquest teorema estableix així una relació entre l'àlgebra i la geometria.

La primera figura correspon a mesures algebraiques positives - els vectors OA, OA', OB i OB' tenen la mateixa orientació que les rectes (d) i (d') - i la segona a quocients negatius.

Si s'aplica el teorema, tenim a més una altra conseqüència: Si s'orienta de la mateixa manera les dos rectes paral·leles (AB) i (B'), és a dir amb el mateix vector, llavors el tercer quocient (de mesures algebraiques): B' / AB és igual als dos anteriors.

A vegades es reserva el nom de teorema de Tales al sentit directe de l'equivalència, i l'altre sentit rep el nom de recíproca del teorema de Tales.

Aquest teorema és un cas particular dels Triangles semblants.

Segon teorema [modifica]

El segon teorema diu el següent:

Siga C un punt del cercle de diàmetre [AB], diferent de A i de B. Llavors l'angle ACB és recte.

Aquest teorema és un cas particular d'una propietat dels punts cocíclics

Prova: $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=r$ , radi del cercle. Per tant OAC i OBC són isòsceles. La suma dels angles del triangle ABC val $2\cdot \alpha+2\cdot \beta= \pi$ . Dividint per dos, s'obté $\widehat{BCA}=\alpha+\beta=\frac{\pi}2$ o, equivalentment, $90^\circ$ .