Teorema del punt fix de Brouwer

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema del punt fix de Brouwer , el nom es deu al matemàtic holandès Luitzen Egbertus Jan Brouwer, és un dels principals teoremes de punt fix en les matemàtiques. El seu enunciat és el següent:

Sigui  A\subseteq\mathbb{R}^n un conjunt homeomorf a \bar{B}(0,1) (la bola unitària tancada). Sigui  F: A\rightarrow A un funció contínua. Llavors  F admet un punt fix, és a dir, \exists x\in A tal que  F (x) = x.\,

Hi ha diverses demostracions per aquest teorema, per exemple ocupant teoria del grau de Brouwer. En general es prova per la bola unitària, i després per Homeomorfisme és fàcil concloure el cas general.

Una observació important és que el teorema no és cert en dimensió infinita.

El teorema té diverses aplicacions interessants, per exemple per l'existència de solucions en algunes equacions diferencials ordinàries, com també implica que un got amb algun líquid, sense importar que tant s'hagi batut, al final sempre hi haurà algun punt del líquid que quedi en el mateix lloc que on va partir. Amb el teorema també es conclou que no existeix retracció de la bola unitària en la seva frontera, és a dir, no existeix  g:\bar{B}(0,1)\rightarrow\partial B (0, 1) contínua i tal que la restricció a la frontera sigui la identitat.

Referències[modifica | modifica el codi]