Teorema del valor mitjà de Cauchy

En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus $\textstyle \frac{0}{0}$ i $\textstyle \frac{\infty}{\infty}$.

Teorema

El teorema diu el següent:

Siguin $\,f$ i $\,g$ dues funcions continues a $\,[a,b]$ i derivables a $\,(a,b)$. Si $\,f'$ i $\,g'$ no s'anul·len simultàniament, llavors existeix $c \in (a,b)$ tal que: $\, g'(c)[f(b)-f(a)]= f'(c)[g(b)-g(a)]$ Augustin Louis Cauchy

Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan $\,g(x)=x$.

Demostració

Tenim dues funcions $\,f(x)$ i $\,g(x)$ continues a $\,[a,b]$ i derivables a $\,(a,b)$. A partir d'aquestes podem definir una nova funció com:

$\,h(x) = f(x)[g(b)-g(a)] - g(x)[f(b)-f(a)]$

Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que:

$\begin{align} h(a) = f(a)g(b)-f(b)g(a) \\ h(b)= f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{align}$

Per tant, $\exist c \in (a,b): h'(c)=0$. Calculant la derivada de $\,h(x)$:

$\,h'(x) = f'(x)[g(b)-g(a)] - g'(x)[f(b)-f(a)]$

I introduint-hi el valor de $\,c$, veiem que

$\,h'(c) = f'(c)[g(b)-g(a)] - g'(c)[f(b)-f(a)]=0$

Que és equivalent al que volíem demostrar.

$\, g'(c)[f(b)-f(a)]= f'(c)[g(b)-g(a)]$

A més a més, si $g(b)\neq g(a)$ i $\,g'(c)\neq 0$, l'equació anterior es pot escriure com:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$