Teorema dels zeros de Hilbert

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema dels zeros de Hilbert, anomenat de vegades Nullstellensatz, és un teorema central de geometria algebraica que relaciona els ideals amb les varietats algebraiques. Fou demostrat pel matemàtic alemany David Hilbert.

Enunciat[modifica | modifica el codi]

Existeixen diverses formulacions equivalents del teorema dels zeros de Hilbert.

Teorema 1

Si K és un cos i, (a_i)_{1\le i\le n} \in K^n, llavors l'ideal I := (X1a1, ... ,Xnan) és un ideal maximal de K[X1, ... ,Xn].


Teorema 2

Sia K un cos, L una K-àlgebra de tipus finit.

Si L és un cos, llavors L és una extensió algèbrica de K.

Teorema 3 (Nullstellensatz)

Sia K és un cos algebraicament tancat, es té:

Si M és un ideal maximal de l'anell de polinomis en n indeterminades K[X1, ... ,Xn], llavors existeix (a_1,\dots a_n) \in K^n tal que M=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n), és a dir, llavors M és un ideal maximal de punt.


Teorema 4 (Existència dels zeros)

Si K és un cos algèbricament tancat, llavors per a tot ideal propi J de K[X1, ... ,Xn], és té que la varietat algebraica que genera, V(J) no és buida. Encara més, I(V(J)) = rad J , on rad indica el radical de l'ideal J.