Teorema dels zeros de Hilbert

El teorema dels zeros de Hilbert, anomenat de vegades Nullstellensatz, és un teorema central de geometria algebraica que relaciona els ideals amb les varietats algebraiques. Fou demostrat pel matemàtic alemany David Hilbert.

Enunciat

Existeixen diverses formulacions equivalents del teorema dels zeros de Hilbert.

Teorema 1

Si K és un cos i, $(a_i)_{1\le i\le n} \in K^n$, llavors l'ideal I := (X₁−a₁, ... ,X_n−a_n) és un ideal maximal de K[X₁, ... ,X_n].

Demostració 

Per demostrar que I és màxim, es demostrarà que $K[X_1, \dots ,X_n] /\ I$ és un cos.

Es considera el morfime d'anell suprajectiu $\phi : K[X_1, \dots,X_n] \rightarrow K$:

$P \mapsto P(a_1, \dots, a_n)$

$\phi$ és un morfisme d'anells suprajectiu: $\forall \lambda \in K \ P(X_1,...X_n) := \Pi_{i=1}^n (X_i-a_i) + \lambda \in K[X_1....,X_n]\ et\ \phi (P)=\lambda$.

Es té $K[X_1,...X_n] /\ Ker(\phi ) \approx K$, amb K un cos, per tant $Ker(\phi )$ és un ideal maximal.

Ara es demostra que $Ker(\phi )=(X_1-a_1,...,X_n-a_n)$

Sia $P \in K[X_1,...,X_n]$ i es divideix per $X_1-a_1$. Es té $P=(x_1-a_1)Q_1+R_1 \ avec\ R_1 \in K[X_2,...,X_n]$ Per recurrència sobre n, es té: $P=(X_1-a_1)Q_1+(X_2-a_2)Q_2+....+(X_n-a_n)Q_n+R_n\ avec\ R_n \in K$

I finalment $P\in Ker(\phi) \Leftrightarrow R_n=0 \Leftrightarrow P\in (X_1-a_1,....,X_n-a_n)$.

 

Teorema 2

Sia K un cos, L una K-àlgebra de tipus finit.

Si L és un cos, llavors L és una extensió algèbrica de K.

Teorema 3 (Nullstellensatz)

Sia K és un cos algebraicament tancat, es té:

Si M és un ideal maximal de l'anell de polinomis en n indeterminades K[X₁, ... ,X_n], llavors existeix $(a_1,\dots a_n) \in K^n$ tal que $M=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$, és a dir, llavors M és un ideal maximal de punt.

Demostració 

Sia M un ideal maximal de $K[X_1,\ldots ,X_n]\,$.

$L:= K[X_1,\ldots ,X_n] /\ M$ és una K-àlgebra de tipus finit, i L és un cos perquè M és maximal.

Segons el teorema 2, L és una extensió algèbrica de K el qual és ell mateix algèbricament tancat.

Per tant es té K=L.

Per tant $\forall i \ ,\ \exists a_i \in K \ tal\ que\ \bar X_i = \bar a_i \Rightarrow \bar X_i - \bar a_i =0 \Rightarrow X_i-a_i \in M$.

Es té, per tant $(X_1-a_1,\ldots ,X_n-a_n) \subset M$, però com que M és màxim, es té la igualtat.

 

Teorema 4 (Existència dels zeros)

Si K és un cos algèbricament tancat, llavors per a tot ideal propi J de K[X₁, ... ,X_n], és té que la varietat algebraica que genera, V(J) no és buida. Encara més, I(V(J)) = rad J , on rad indica el radical de l'ideal J.

Demostració 

Sia K un cos algèbricament tancat. Sia I un ideal que compleix la condició. I està inclòs en un ideal màxim M, d'on segons el teorema 3, $M=(X_1-a_1,\ldots ,X_n-a_n)\,$ i per tant $(a_1,\ldots ,a_n)\in V(I)\Rightarrow I\ne \varnothing.$