Teorema fonamental de la geometria de Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria de Riemann, el teorema fonamental de la geometria de Riemann estableix que donada una varietat de Riemann (o una varietat seudoriemanniana) hi ha una única connexió lliure de torsió que preserva el tensor mètric. Tal connexió s'anomena connexió de Levi-Civita.

Més exactament:

Sigui  (M, g) un varietat de Riemann (o varietat seudoriemanniana) llavors hi ha una connexió única  \nabla que satisfà les condicions següents:

  1. Per a qualssevol camps vectorials  X, Y, Z tenim  XG (Y, Z) = g (\nabla_X Y, Z) g (Y, \nabla_X Z) , on  XG (Y, Z) denota la derivada de la funció  g (Y, Z) al llarg del camp vectorial  X .
  2. Per a qualssevol camps vectorials  X, Y tenim  \nabla_XY-\nabla_YX = [X, Y] , on  [X, Y] denota el claudàtor de Lie per als camps vectorials  X, Y .

La prova tècnica següent presenta una fórmula per als símbols de Christoffel de la connexió en un conjunt coordenat local. Per a una mètrica donada aquest conjunt d'equacions pot arribar a suposar tot un repte. Hi ha mètodes més ràpids i més simples d'obtenir els símbols de Christoffel per a una mètrica donada, ig amb la integral d'acció i les equacions associades d'Euler-Lagrange.

Demostració[modifica | modifica el codi]

En aquesta prova utilitzem la notació d'Einstein.

Considereu el conjunt coordinat local x^i,\ i=1,2,...,m=\dim(M) i denotem per {\mathbf e}_i={\partial\over\partial x^i} el camp dels marcs de base.

Els components  g_{i \; j} són nombres reals del tensor mètric aplicat a una base, és a dir

 G_{ij}\equiv{\mathbf g}({\vec i}_i,{\mathbf i}_j)

Per especificar la connexió és suficient especificar els símbols de Christoffel  \Gamma^k_{ij}.

Ja que  \Gamma^k_{ij} són els camps de coordenades vectorials hem de

 [{\mathbf i}_i,{\mathbf i}_j] ={\partial^2 \over \partial x^j \partial x^i}-{\partial^2 \over \partial x^i \partial x^j}= 0

per a tots i i j . Per tant la segona propietat és equivalent a

\nabla_{{\mathbf e}_i}{{\mathbf e}_j}-\nabla_{{\mathbf e}_j}{{\mathbf e}_i}=0,\ \ la qual cosa és equivalent a \ \ \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} per a tots els i , j i k .

La primera propietat de la connexió de Levi-Civita (a dalt) llavors és equivalent a

 \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}= \Gamma^a_{ki}g_{aj}\Gamma^a_{kj}g_{ia}.

Això dóna la relació única entre els símbols de Christoffel (que defineixen la derivada covariant) i els components del tensor mètric.

Podem invertir aquesta equació i expressar els símbols de Christoffel amb un petit truc, escrivint a aquesta equació tres vegades amb una elecció pràctica dels índexs

 \quad \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}= \Gamma^a_{ki}g_{aj}\Gamma^a_{kj}g_{ia}
 \quad \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}= \Gamma^a_{ji}g_{ak}\Gamma^a_{JK}g_{ia}
 - \frac{\partial g_{JK}}{\partial x^i}= - \Gamma^a_{ij}g_{ak}- \Gamma^a_{ik}g_{ja}

Sumant, la majoria dels termes en el costat dret es cancel·len i ens quedem amb

 G_{ia}\Gamma^a_{kj}= \frac{1}{2} \left (\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}- \frac{\partial g_{JK}}{\partial x^i}\right)

O amb l'invers de  \mathbf g , definit com (amb la delta de Kronecker)

 G^{k i}g_{i l}= \delta^k_l

escrivim els símbols de Christoffel com

 \Gamma^i_{kj}= \frac12 g^{ia} \left (\frac{\partial g_{aj}}{\partial x^k}\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^j}- \frac{\partial g_{JK}}{\partial x^a}\right)

És a dir els símbols de Christoffel (i per tant la derivada covariant) són determinats totalment per la mètrica, amb les equacions que impliquen la derivada de la mètrica.