Teoria de l'ordre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La teoria de l'ordre és una branca de la matemàtica que estudia diverses classes de relació binària que capturen la noció intuïtiva de l'ordre matemàtic.

L'ordre apareix per tot arreu. El primer ordre que hom troba en el procés educatiu és l'ordre ≤ dels nombres naturals. Aquest concepte intuïtiu fàcilment s'amplia a altres conjunts de nombres, com són els enters i els nombres reals.

Els tipus d'ordre anteriors tenen una propietat especial: cada element es pot comparar amb qualsevol altre element, és a dir, és o major, menor o igual. En canvi els subconjunts presenten un ordre parcial, en comparació amb els ordres totals dels exemples anteriors.


Conjunts parcialment ordenats[modifica | modifica el codi]

Un ordre és una relació binària especial. Per tant, considerem un conjunt P i una relació binària ≤ en P. Aleshores ≤ és un ordre parcial si és reflexiva, antisimètrica, i transitiva, és a dir, per a tot a, b i c en P, tenim que:

aa (reflexivitat)
si ab y bc aleshores ac (transitivitat)
si ab y ba aleshores a = b, (antisimetria).

Funcions entre ordres[modifica | modifica el codi]

La condició més fonamental que es presenta en aquest context és la monotonia. D'altra banda, una funció pot ser també ordre inversora o antítona, si ab implica f(a) ≥ f(b).

Una immersió d'ordre és una funció f entre ordres que és ordre preservant i ordre reflectant. Per exemple la funció que mapeja un nombre natural n el seu successor és clarament monòtona respecte l'ordre natural.

Esquema de temes relacionats[modifica | modifica el codi]

Teoria de l'ordre
Ben ordenat
Ordre total
Parcialment ordenat
Preordenat
Relació reflexiva
Relació transitiva
Relació antisimètrica
Relació total
Relació ben fonamentada

Referències[modifica | modifica el codi]

  • G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, and D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1