Teoria de categories

La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àreas de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica.

Definició de categoria

$\mathcal{A}$ es una categoria si té:

1) una classe d'objectes de $\mathcal{A}$, anomenat ${Ob(}\mathcal{A})$.

2) per tot ${A,B} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}$, un conjunt de morfismes de $A_{}^{}$ en $B_{}^{}$, anomenat ${Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}_{}^{}$. Els seus elements ${f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}$ s'escriuen com ${f:A}\rightarrow B$

3) per tot ${A,B,C,D} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}$, i per tot ${f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}$, ${g}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(B,C)}$ es compleixen les següents propietats:

a) existeix ${h}\in {Mor(A,C)}$ tal que $h=fg:=f {\circ{}}_{\mathcal{A}}\; g$, és a dir, tenim l'aplicació

$\begin{matrix} {Mor(A,B) \times{} Mor(B,C)} & \longrightarrow{} & {Mor(A,C)} \\ {(f,g)} & \mapsto & {fg} \end{matrix}$

b) propietat associativa en la composició, és a dir $k(gf)=(kg)f_{}^{}$, per tot $k \in {Mor_{ \mathcal{A} }(C,D)}$.

c) existència del morfisme identitat $I_B^{ \mathcal{A} } \in Mor_{ \mathcal{A} }(B,B)$ tal que $I_B^{ \mathcal{A} }f=f$ i $gI_B^{ \mathcal{A} }=g$.