Topologia producte

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

S'anomena topologia producte a una topologia construïda sobre el producte cartesià de espais topològics a partir de la topologia dels factors. Va ser introduïda el 1930 per Tychonoff [1] , Com la topologia menys fina que fa que les projeccions sobre cada factor en aplicacions contínues.

Aquesta topologia coincideix en el cas de producte d'un nombre finit de factors amb una altra potser més òbvia, anomenada topologia de caixes, introduïda prèviament per Tietz [2] a 1923. Però la topologia de caixes presenta propietats indesitjables per a un producte d'infinits factors: entre d'altres, el producte d'espais connexos no és necessàriament connex, ni el de compactes necessàriament compacte,[3] coses que sí que succeeixen per la topologia producte.

Per tot això, se sobreentén que en un producte cartesià, llevat que s'especifiqui el contrari. es fa servir sempre la topologia producte,

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Sigui \{X_\alpha, T\alpha\} una família arbitrària (potser infinita) d'espais topològics. Truquem X al seu producte cartesià, ie  X =\prod_\alpha X_\alpha i  p_\alpha: X\longrightarrow X_\alpha a la projecció sobre el factor corresponent.

Podem dotar X de l' topologia producte , que és aquella que té com una subbase als conjunts de la forma \{p_\alpha^{-1}( U_\alpha)\} on cada  U_\alpha és un obert de  X_\alpha .

Base de la topologia[modifica | modifica el codi]

La intersecció finita d'elements de la subbase donarà lloc als elements de la base, amb diferent resultat segons tractem amb un producte d'un nombre finit o infinit d'espais

Producte d'un nombre finit de factors[modifica | modifica el codi]

En aquest cas la topologia producte serà la que té per base les caixes obertes, és a dir, el producte cartesià d'oberts \{\prod_\alpha U_\alpha\}

Producte d'infinits factors[modifica | modifica el codi]

Aquí els oberts bàsics seran de la forma:

 U_{\alpha _1}\times\cdots U_{\alpha _n}\times\prod\{X_\beta:\beta\neq\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}

Això condicionarà la forma dels oberts V de la topologia producte: tot obert, comproveu que  p_\alpha (V) = X_\alpha per a tots els índexs excepte per a un conjunt finit, ja que ha de contenir un obert bàsic que es projecta d'aquesta manera.

Relació amb altres propietats topològiques[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Tychonov, A. (1930). Über die topologische Erweiterung von Räume, Math. Ann. 102, 544-561.
  2. Tietz, H. (1923). Beitrage zur allgemeinen topologia i, Math. Ann. 88, 280-312.
  3. Rubiano, G. N. Topologia general. Unibiblos. ISBN 958-701-108-2. (Capítol 4)