Transformació de Möbius

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «transformada de Möbius».

En geometria, una transformació de Möbius és una funció de la forma:

 F (z) = \frac{a z+b}{c z+d}

on z , a , b , c , d són nombres complexos que verifiquen que ad - mx ≠ 0.

Una transformació de Möbius pot veure en el pla complex com la composició d'una projecció estereogràfica del pla sobre l'esfera, seguida d'una rotació o desplaçament de l'esfera a una nova localització i finalment una projecció estereogràfica, aquesta vegada de l'esfera al pla.

Com veurem més avall, serà més natural considerar directament les transformacions de Möbius com transformacions de l'esfera de Riemann (ii del plànol complex augmentat amb un punt en l'infinit  \widehat{\mathbb{C}}= \mathbb{C}\cup \{\infty \}).

Les transformacions de Möbius reben el seu nom en honor a August Ferdinand Möbius, encara que també es nomenen com transformacions especials conformes , transformacions racionals lineals o transformacions homogràfiques .

El grup de les transformacions de Möbius[modifica | modifica el codi]

Una transformació de Möbius pot estendre de manera natural a un biholomorfisme (és a dir, una aplicació conforme i biyectiva) de l'esfera de Riemann. Perquè aquesta transformació quedi definida en tota l'esfera de Riemann, seguirem els següents convenis amb el punt de l'infinit:

  • -d/c s'aplicarà en  \infty ,
  •  \infty s'aplicarà en a/c .

El conjunt d'aquestes transformacions definides sobre l'esfera de Riemann forma un grup sota la composició de funcions anomenat el grup de Möbius .

Aquest grup, al seu torn, pot dotar amb l'estructura de varietat complexa de manera que la composició i la inversió siguin aplicacions holomorfes. En altres paraules: el grup de Möbius es converteix així en un grup de Lie complex.

Referències[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

  • Möbius Transformations Revealed. Vídeo de N. Arnold i J. Rogness, professors de la Universitat de Minnesota, que il·lustra com moviments de l'esfera es tradueixen en transformacions de Möbius. Hi ha una versió en alta resolució d'aquest, disponible a arnold/moebius/index.html.