Transformada de Fourier en Temps Discret

La STFT s'està utilitzant per analitzar un senyal d'àudio respecte el temps.

La Transformada de Fourier en Temps Discret (Short-time Fourier transform, STFT) o Transformada de Fourier de Temps Reduït (short-term Fourier transform) està relacionada amb la transformada de Fourier utilitzada per determinar el contingut en freqüència sinusoïdal i de fase en seccions d'un senyal així com els seus canvis pel que fa al temps.

STFT inversa

La STFT és una funció invertible, això vol dir, el senyal original pot ser recuperat de la transformació a través de la STFT inversa.

STFT en temps continu

Donat l'ample i definició de la funció finestra w(t), requerim que l'altura de la funció finestra sigui ajustada per la qual cosa:

$\int_{-\infty}^{\infty} w(\tau) \, d\tau = 1.$

Es fàcil prosseguir amb

$\int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = 1 \quad \forall \ t$

i

$x(t) = x(t) \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau.$

La transformada continua de Fourier és

$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \, dt.$

Substituint la x(t) d'adalt:

$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau \right] \, e^{-j \omega t} \, dt$

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-j \omega t} \, d\tau \, dt.$

Canviant l'ordre d'integració:

$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-j \omega t} \, dt \, d\tau$

$= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-j \omega t} \, dt \right] \, d\tau$

$= \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) \, d\tau.$

Pel que la Transformada de Fourier pot ser vista com una suma de fases de totes les STFTs de x(t), ja que la transformada inversa de Fourier és

$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{+j \omega t} \, d\omega,$

llavors x(t) pot ser obtinguda de X(τ,ω) com

$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+j \omega t} \, d\tau \, d\omega.$

o

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+j \omega t} \, d\omega \right] \, d\tau.$

Es pot veure que, en comparar amunt que la finestra de "gra" o "wavelet" de x(t) és

$x(t) w(t-\tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+j \omega t} \, d\omega.$

la transformada de Fourier inversa de X(τ, ω) per una τ fixe.

Aplicacions

Les STFTs igual que les transformades estàndard de Fourier i altres eines són freqüentment utilitzades per analitzar música. L'espectrograma pot per exemple, mostrar la freqüència en l'eix horitzontal, amb les freqüències més baixes a l'esquerra i les més altes a la dreta. L'alçada de cada barra (ressaltada amb color) representa l'amplitud de les freqüències dins de la banda. La dimensió del fons representa el temps, on cada nova barra és una transformació diferent. Els enginyers d'àudio usen aquest tipus de visualització per obtenir informació a prop d'una mostra d'àudio, per exemple, per localitzar les freqüències de sorolls específics o trobar freqüències que podrien ser més o menys ressonants en l'espai on el senyal es va gravar. Aquesta informació pot ser usada per la equalització o entonació d'altres efectes d'àudio.