Transformada de Hilbert

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La transformada de Hilbert (en vermell) d'una ona quadrada (en blau).

En matemàtiques i en processament de senyals, la transformada de Hilbert  \mathcal{H}, d'una funció real,  s (t) \, , s'obté mitjançant la convolució dels senyals  s (t) i  1/(\pi t) obtenint  \widehat s (t) . Per tant, la transformada de Hilbert  \widehat s (t) es pot interpretar com la sortida d'un sistema LTI amb entrada  s (t) i resposta l'impuls  1/(\pi t) .

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és:


 \widehat s (t) = \mathcal{H}\{s \}(t) = (h * s) (t) = \frac{1}{\pi}\int_{- \infty}^{\infty}\frac{s (\tau)}{t-\tau}\, d \tau. \,

on  \scriptstyle h (t) = 1/\pi t i considerant la integral com el valor principal (el que evita la singularitat  \tau = t \, ).

Utilitzant  \widehat s (t) podem construir el senyal analític de s (t) com:

 S_a (t) = s (t)+i \widehat s (t)

La transformada de Hilbert posseeix una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier:

H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = \begin{cases}+j\, & \mbox{si } \omega < 0\, \\-j\, & \mbox{si } \omega > 0\,\end{cases}

o, de manera equivalent:

 H (\omega) = \mathcal{F}\{h \}(\omega) \, =-j \cdot \sgn (\omega)

 j \, (o també  i \, ) és la unitat imaginària

I com:

 \mathcal{F}\{\widehat s \}(\omega) = H (\omega) \cdot \mathcal{F}\{s \}(\omega) ,

la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de  s (t) \, +90° i les part de freqüències positives -90°.

També hem de  H^2 (\omega) = -1 \, , per la qual cosa multiplicant l'equació anterior per -H (\omega) \, , obtenim:

 \mathcal{F}\{s \}(\omega) =-H (\omega) \cdot \mathcal{F}\{\widehat s \}(\omega)

d'on obtenim la transformada inversa de Hilbert :

 S (t) = - (h * \widehat s) (t) = - \mathcal{H}\{\widehat s \}(t). \,

Exemples de transformades[modifica | modifica el codi]

Senyal
 s (t) \,
Transformada de Hilbert
 \mathcal{H}\{s \}(t)
 \sin (t) \,  - \cos (t) \,
 \cos (t) \,  \sin (t) \,
 1 \over t^2+1  t \over t^2+1
 \sin (t) \over t
Funció sinc
 1 - \cos (t) \over t
 \sqcap (t)
funció rectangle
{1 \over \pi}\ln \left|{t+{1 \over 2}\over t-{1 \over 2}}\right|
 \Delta (t)
Funció delta de Dirac
{1 \over \pi t}

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]