Transformada de Laplace

La transformada de Laplace d'una funció f(t) definida (en matemàtiques i, en particular, en anàlisi funcional) per a tots els nombres reals t ≥ 0, es la funció F(s), definida per:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

sempre que la integral estigui definida.

Aquesta transformada integral té una sèrie de propietats que la fan útil en l'anàlisi de sistemes lineals. Un dels avantatges més significatius radica en què la integració i derivació es converteixen en multiplicació i divisió. Això transforma les equacions diferencials i integrables en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.

Una altra aplicació important en els sistemes lineals és el càlcul del senyal de sortida. Aquesta és pot calcular mitjançant la convolució de la resposta impulsiva del sistema amb el senyal d'entrada. La realització d'aquest càlcul a l'espai de Laplace converteix la convolució en una multiplicació, habitualment més senzilla.

La transformada de Laplace pren el seu nom en honor de Pierre-Simon Laplace.

La transformada de Laplace és al temps continu el que la transformada de Z és al discret.

Quan es parla de la transformada de Laplace, generalment es refereix a la versió unilateral. També existeix la transformada de Laplace bilateral, que es defineix com:

$F_B(s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

La transformada de Laplace F(s) típicament existeix per a tots els nombres reals s > a, on a és una constant que depèn del comportament de creixement de f(t).

Perspectiva històrica

La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del matemàtic francès Pierre-Simon Laplace, que la va presentar dins de la seva teoria de la probabilitat. El 1744, Leonhard Euler va investigar un conjunt d'integrals de la forma:

$z = \int X(x) e^{ax}\, dx\text{ i }z = \int X(x) x^A \, dx,$

- Com a solucions d'equacions diferencials, però no va aprofundir en elles i aviat va abandonar la seva recerca. Joseph Louis Lagrange, admirador d'Euler, també va investigar aquest tipus d'integrals, i les va lligar a la teoria de la probabilitat en un treball sobre funcions de densitat de probabilitat de la forma:

$\int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,$

- que alguns historiadors interpreten com a autèntiques transformades de Laplace.

Aquest tipus d'integrals van atreure l'atenció de Laplace quan, el 1782, i seguint la idea d'Euler, va tractar d'emprar aquestes integrals com a solucions d'equacions diferencials. Sembla ser que el 1785 va donar un pas més enllà, i va reenfocar el problema per a en comptes d'usar les integrals com a solucions, aplicar-les a les equacions donant lloc a les transformades de Laplace tal com avui en dia s'entenen. Va usar una integral de la forma:

$\int x^s \phi (s)\, dx,$

Propietats

Linealitat

$\mathcal{L}\left\{a f(w) + b g(w) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Derivació

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\{f(e^{t^2}))$ (que creix més ràpid que $e^{-st}$) no poden ser obtingudes per Laplace, ja que $e^{t^2}$, no es una funció d'ordre exponencial.

Integració

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

Producte per t^n

$\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^n\frac{d^n F(s)}{ds^n}$

Divisió per t^n

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{s}^\infty F(s)\,ds.$

Modulació

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s-a)$

Translació

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Nota: $u(t)$ es la funció esglaó o funció de Heaviside.

Escalat

$\mathcal{L}\left\{ f(at) \right\} = \frac{1}{a}F(s/a)$

Transformada de Laplace d'una funció amb període p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

Transformades comunes

Potencia n-èsima

$\mathcal{L}\left\{t^n \right\} = \frac {n!}{s^{n+1}}$ , si $n \in \N$

Sinus

$\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} =\frac{ \omega }{s^2 + \omega^2}$

Cosinus

$\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}$

Sinus hiperbòlic

$\mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2 - b^2}$

Cosinus hiperbòlic

$\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}$

Logaritme natural

$\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}$

Arrel n-èsima

$\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

Funció de Bessel de primera especie

$\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{n}}{\sqrt{1+s^2}}$

Funció modificada de Bessel de primera especie

$\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}$

Funció error

$\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

Convolució

$\mathcal{L}\{f*g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Altres transformades de Laplace

Transformada de Laplace	Funció en el temps
$1$	$\delta(t)$ (delta de Dirac)
$\frac{1}{s}$	$u(t)$ (funció esglaó)
$\frac{1}{(s+a)^n}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$
$\frac{1}{s(s+a)}$	$\frac{1}{a}(1-e^{-at})$
$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$
$\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2}$	$e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\mbox{sin}{(bt)}\right)$
$\frac{\mbox{sin}\varphi s+a\cos\varphi}{s^2+a^2}$	$\mbox{sin}{(at+\varphi)}$

Vegeu també

• Transformada de Mellin