Transformada de Legendre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Interpretació geomètrica de la Transformada de Legendre.

En matemàtica es diu que dues funcions diferenciables f i g són una transformada de Legendre si cadascuna de les seves primeres derivades són funció inversa de l'altra:

Df = \left( Dg \right)^{-1}

Aleshores es diu de f i g que estan relacionades per una transformada de Legendre. Són unívoques fins a una constant additiva que normalment es fixa mitjançant el requisit addicional de

f(x) + g(y) = x\,y.

La transformada de Legendre és la seva pròpia inversa, i està relacionada amb la integració per parts.

Aquestes funcions reben aquest nom per Adrien-Marie Legendre.

Motivació[modifica | modifica el codi]

En certs problemes matemàtics o físics es desitja expressar una certa magnitud f (com l'energia interna) com funció diferent g on els arguments siguin les derivades de la funció respecte les antigues variables. Si designem al nou argument y es té que la relació amb l'antic argument és y = df/dx.

La transformació de Legendre permet la construcció anterior, mitjançant el teorema de la funció implícita, d'una nova funció g que satisfà els requisits anteriors:

g(y):=(\mathcal{L}f)(y) = x(y)y - f(x(y))

on f(x) \, és la funció original i \mathcal{L}:\mathcal C^{(2)}(D,\mathbb{R}) \to\mathcal C^{(2)}(D,\mathbb{R}) és l'operador transformada de Legendre. Una funció f(x) \, admet transformada de Legendre, si existeix la seva derivada segona i no s'anul·la mai.

En aquestes condicions el Teorema de la Funció Implícita aplicat a la funció:


\begin{array}{lcr}
  F:\mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R} \\
  F(x,y) & = & y-\frac{df}{dx}     
\end{array}


garanteix que existeix la funció diferenciable, x(y).

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Alberty, R.A.. «Use of Legendre transforms in chemical thermodynamics». Pure Appl. Chem., 73, 8, 2001. pp. 1349–1380 [1].
  • Arnol'd, Vladimir Igorevich. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer, 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
  • Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press, 1996. ISBN 0-691-01586-4.