Treball virtual

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El treball virtual d'un sistema és el treball resultant tant de les forces virtuals que actuen mitjançant un desplaçament real o de les forces reals que actuen mitjançant un desplaçament virtual. En aquest tema, el terme desplaçament es pot referir tant a translació com a rotació, i el terme força tant a una força com a un moment. Quan les quantitats virtuals són variables independents llavors són anomenades arbitràries: que ho siguin és una característica essencial que permet treure importants conclusions a partir de relacions matemàtiques. Per exemple, en la relació matricial

\mathbf{R}^{*T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{*T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{q},

si \mathbf{R}^{*} és un verctor arbitrari, llavors es pot concloure que  \mathbf{r} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{q} . D'aquesta manera, les quantitats arbitràries desapareixen dels resultats finals.

Principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic[modifica | modifica el codi]

Es considera un sistema de partícules, i, en equilibri estàtic. La força total en cada partícula és[1]

\mathbf {F}_{i}^{(T)} = 0

Sumant el treball exercit per la força sobre cada partícula que actua mitjançant un desplaçament virtual arbitrari, \delta \mathbf r_i, del sistema porta a una expressió pel treball virtual que ha de ser zero, ja que les forces són zero:[1]

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf r_i = 0.

L'equació vectorial original pot ser recuperada reconeixent que l'expressió del treball ha de funcionar per desplaçaments arbitraris virtuals. Separant les forces en forces aplicades, \mathbf F_i, i forces de lligadura, \mathbf C_i, dóna[1]

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i = 0

Si els desplaçaments virtuals arbitraris s'assumeixen que són en direccions ortogonals a les forces de lligadura, aquestes no fan treball. Aquests desplaçaments es diu que són consistents amb les forces de lligadura.[2] Això porta a la formulació del principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic, que postula que les forces aplicades a un sistema estàtic no fan treball virtual:[1]

\delta W = \sum_{i} \mathbf {F}_{i} \cdot \delta \mathbf r_i = 0

Això també es correspon al principi per sistemes accelerats, anomenat principi de d'Alembert, que forma la base teòrica per la mecànica lagrangiana.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Torby, Bruce. «Energy Methods». A: Advanced Dynamics for Engineers (en anglès). United States of America: CBS College Publishing, 1984 (HRW Series in Mechanical Engineering). ISBN 0-03-063366-4. 
  2. Ing-Chang Jong. «Teaching Students Work and Virtual Work Method in Statics:A Guiding Strategy with Illustrative Examples» (PDF). Proceedings of the 2005 American Society for Engineering Education Annual Conference & Exposition. American Society for Engineering Education, 2005. [Consulta: 2007-09-24].

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Bathe, K.J. "Finite Element Procedures", Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-301458-4
  • Charlton, T.M. Energy Principles in Theory of Structures, Oxford University Press, 1973. ISBN 0-19-714102-1
  • Dym, C. L. and I. H. Shames, Solid Mechanics: A Variational Approach, McGraw-Hill, 1973.
  • Greenwood, Donald T. Classical Dynamics, Dover Publications Inc., 1977, ISBN 0-486-69690-1
  • Hu, H. Variational Principles of Theory of Elasticity With Applications, Taylor & Francis, 1984. ISBN 0-677-31330-6
  • Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics, Krieger, 1989.
  • Reddy, J.N. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. ISBN 0-471-17985-X
  • Shames, I. H. and Dym, C. L. Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Taylor & Francis, 1995, ISBN 0-89116-942-3
  • Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
  • Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
  • Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7