Triangle de Tartaglia

Cada nombre del triangle és la suma dels dos immediatament superiors.

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per la potenciació de binomis.

Donat un binomi a+b elevat a n , pel binomi de Newton es dóna la següent relació:

${(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} c_i a^{n-k}b^{k}=(a+b)^n =$ $= c_0 \cdot a^n + c_1 \cdot a^{n-1} \cdot b + c_2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 +\ldots+ c_{n-2} \cdot a^2 \cdot b^{n-2}+ c_{n-1} \cdot a \cdot b^{n-1} + b^n$

El triangle de Tartaglia, ens permet saber els valors que prenen els factors $c_0, c_1, c_2, ... , c_n \$.

Es comença amb un 1.

1

Després s'escriuen dos 1 a sota.

 1
1 1

A les següents files, els nombres son el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.

                                       00001
                                    00001 00001
                                 00001 00002 00001
                              00001 00003 00003 00001
                           00001 00004 00006 00004 00001
                        00001 00005 00010 00010 00005 00001
                     00001 00006 00015 00020 00015 00006 00001
                  00001 00007 00021 00035 00035 00021 00007 00001
               00001 00008 00028 00056 00070 00056 00028 00008 00001
            00001 00009 00036 00084 00126 00126 00084 00036 00009 00001
         00001 00010 00045 00120 00210 00252 00210 00120 00045 00010 00001
      00001 00011 00055 00165 00330 00462 00462 00330 00165 00055 00011 00001
   00001 00012 00066 00220 00495 00792 00924 00792 00495 00220 00066 00012 00001
00001 00013 00078 00286 00715 01287 01716 01716 01287 00715 00286 00078 00013 00001

En el triangle, podem buscar el coeficient binomial $c_i={n \choose i}$ del desenvolupament de $(a+b)^n$ de la següent manera.

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient $c_i$ és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \$

$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3a b^2+b^3 \$

$(a+b)^4=a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2+4a b^3 +b^4 \$

$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5a b^4+ b^5 \$

Propietats

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

• En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dóna una potència de 2: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \ldots$. Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:

$2^n= (1+1)^n= {n \choose 0} 1^n + {n \choose 1} 1^{n-1}\cdot1 + {n \choose 2} 1^{n-2}\cdot1^2 + \ldots + {n \choose n-1} 1\cdot 1^{n-1} + {n \choose n} 1^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + \ldots + {n \choose n}$

• Les fileres de cada triangle són simètriques, ja que: ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}= {n \choose n-k}$

Triangle de Sierpinski.

• Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski. Aquesta similitud es veu encara més clara si considerem tan sols els múltiples de tres, de cinc, i en general, dels nombres primers.

• Diagonals:
  • Les diagonals externes són sempre uns.
  • Una diagonal més interior dóna els nombres naturals (1,2,3,4,5,...)
  • La següent diagonal més interior (1,3,6,10,...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles.
  • La quarta diagonal correspon als nombres tetraèdrics (s'hi poden construir tetràedres).
  • A la cinquena diagonal hi ha els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops.

• El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix vuit vegades al triangle.

Vegeu també

• Màquina de Galton
• Francis Galton
• quincunx
• Triangle d'Euler
• Triangle de Floyd
• Triangle harmònic de Leibniz
• Multiplicitats de les dades en el triangle de Pascal (conjectura de Singmaster)
• Matriu de Pascal
• Tetraedre de Pascal
• Expansió binomial
• Expansió del trinomi

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Triangle de Tartaglia

• Weisstein, Eric W., "Pascal's triangle" a MathWorld (en anglès).
• The Old Method Chart of the Seven Multiplying Squares (from the Ssu Yuan Yü Chien of Chu Shi-Chieh, 1303, depicting the first nine rows of Pascal's triangle)
• Pascal's Treatise on the Arithmetic Triangle (page images of Pascal's treatise, 1655; summary: [1])
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)
• Leibniz and Pascal triangles
• Dot Patterns, Pascal's Triangle, and Lucas' Theorem
• Pascal's Triangle From Top to Bottom
• Omar Khayyam the mathematician
• Info on Pascal's Triangle
• Explanation of Pascal's Triangle and common occurrences, including link to interactive version specifying # of rows to view