Triangle de Reuleaux

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
El triangle Reuleaux és una corba d'amplada constant basada en un triangle equilàter. Tots els punts de cada costat són equidistants del vèrtex oposat.

Un triangle Reuleaux és, a part del cas trivial del circumferència, el polígon de Reuleaux més simple i més conegut, una corba d'amplada constant. La separació entre dues rectes paral·leles tangents a la corba és independent de la seva orientació. El terme es deriva de Franz Reuleaux, un enginyer alemany de segle XIX que va ser un dels pioners en estudiar les maneres en que les màquines transformen un tipus de moviment en un altre, encara que el concepte ja es coneixia amb anterioritat.

Construcció[modifica | modifica el codi]

Construcció d'un triangle Reuleaux

Amb un compas, es dibuixa un arc amb radi igual al diàmetre que ha de tenir el triangle. Amb el mateix radi, es dibuixa un arc centrat en un punt del primer arc fins que el talli. Amb el mateix radi i centre al punt d'intersecció dels dos primers es dibuixa un tercer arc fins a tallar els dos primers. El resultat és una corba d'amplada constant. Perquè tots els diàmetres són els mateixos, el triangle Reuleaux és una resposta a la qüestió "A part d'un circumferència, quina forma es pot donar a una tapa de registre de forma que no pugui caure a través del forat?"

De forma equivalent, donat un triangle equilàter T de llargada de costat s, traçar els arcs amb radi s centrats als vèrtexs de T fins als punts on s'intersequen.

Pel teorema de Blaschke-Lebesgue, el triangle de Reuleaux és la corba d'amplada constant amb l'àrea més petita. Aquesta àrea és {1\over2}(\pi - \sqrt3)s^2, on s és l'amplada constant. L'existència de polígons de Reuleaux demostra que les mesures de diàmetre soles no poden verificar que un objecte té una secció circular.

L'àrea del triangle de Reuleaux és més petita que la del cercle de la mateixa amplada (i.e. diàmetre); l'àrea d'aquest cercle és \pi s^2 \over 4.

Polígons de Reuleaux[modifica | modifica el codi]

El triangle Reuleaux es pot generalitzar a polígons regulars amb un nombre senar de costats, que donen lloc a un polígon Reuleaux. D'aquests el que es fa servir més sovint és el heptàgon de Reuleaux, que és la forma d'unes quantes monedes:

L'amplada constant de tals monedes permet el seu ús en màquines operades per monedes.

Altres usos[modifica | modifica el codi]

El triangle Reuleaux girant dins d'un quadrat
  • El rotor del motor Wankel es confon fàcilment amb un triangle Reuleaux però els seus costats curvilinis són una mica més plans que els d'un triangle de Reuleaux i per tant no té amplada constant.[1]
  • La broca quadrada de Harry Watt té la forma d'un triangle Reuleaux i pot, si es munta en un mandrí especial que té en compte que la punta no té un centre fix de rotació, perforar un forat que és gairebé quadrat.[2] La broca quadrada de Harry Watt es fa servir sovint per encaxos de caixa i metxa[3][4] Altres polígons de Reuleaux s'utilitzen per perforar forats pentagonals, hexagonals, i octagonals.
Maqueta del Museu de la Tècnica de Berlín que il·lustra la propietat de rodar del triangle de Reuleaux.
  • Un triangle de Reuleaux (junt amb totes les altres corbes d'amplada constant) pot rodar però no és adequat per fer una roda perquè no roda sobre un centre fix de rotació. Un objecte sobre rodets amb seccions en forma de triangle de Reuleaux rodaria suaument i seguint un pla, però un eix fixat a rodes de triangle de Reuleaux botaria amunt i avall tres vegades per revolució. Aquest concepte s'utilitzava en un conte de ciència-ficció de Poul Anderson titulat "The Three-Cornered Wheel" ("La Roda de tres cantonades").
  • Alguns llapis es fabriquen amb aquesta forma, en comptes de les més tradicionals rodona o hexagonal.[5] Es publiciten normalment dient que són més fàcils i adequats d'agafar, així com que presenta menys possibilitats de caure rodolant de la taula (ja que el centre de gravetat puja i baixa).
  • La forma s'utilitza com a senyal en el National Trails System administrat pel Servei de Parcs Nacionals dels Estats Units,[6] també en el logo de l'escola de mines de Colorado.
  • Les tapes de registre utilitzades en el Projecte de Mission Bay de San Francisco per diferenciar l'aigua reciclada de l'aigua potable són de forma d'un triangle de Reuleaux.[7]

Versió tridimensional[modifica | modifica el codi]

La intersecció de quatre esferes de radi s centrat en els vèrtexs d'un tetràedre regular amb llargada igual al costat s s'anomena el tetràedre de Reuleaux, però no és una superfície d'amplada constant.[8] Es pot, tanmateix, convertir en una superfície d'amplada constant, anomenada tetràedre de Meissner, canviant els seus arcs per pedaços de superfície curvilinis. Alternativament, la superfície de revolució d'un triangle Reuleaux al voltant d'un dels seus eixos de simetria forma una superfície d'amplada constant, amb volum mínim entre totes les superfícies de revolució conegudes d'amplada constant donada (Campi, Colesanti & Gronchi (1996)).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Ein Wankel-Rotor ist kein Reuleux-Dreieck! Alemany Traducció Un rotor Wankel no és un triangle de Reuleux!
  2. Watts Brothers Tool Works. How to drill square hexagon octagon pentagon holes. Nova York: Wilmerding, Pa. : The Company,, 1950-1951, p. 27. 
  3. Drilling Square Holes
  4. Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld
  5. [1]
  6. «National Trails System - Visit The Trails». National Park Service. [Consulta: 2009-01-18].
  7. A picture of Reuleaux triangle water valve cover in MMA's Found Math gallery
  8. Weber, Christof. «What does this solid have to do with a ball?», 2009. hi ha també pel·lícules dels dos tipus de cossos de Meissner girant.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]