Triangle de Sierpiński

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Triangle de Sierpiński

El triangle de Sierpiński és un objecte fractal, que va ser introduït per primera vegada en 1915 pel matemàtic polonès Waclaw Sierpiński. És un dels exemples bàsics de conjunt auto-semblant, una de les propietats fonamentals de les fractals. Encara que va ser construït inicialment a partir d'un triangle equilàter, anomenat triangle de Sierpiński canònic, es pot fer la construcció a partir de qualsevol triangle.

Construcció[modifica | modifica el codi]

Per construir el triangle de Sierpiński se segueix l'algoritme següent:

  1. A partir d'un triangle, s'uneixen els punts mitjans dels seus costats, dividint el triangle inicial en quatre triangles
  2. S'elimina el triangle interior
  3. En cada un dels tres triangles que queden es procedeix a fer el pas 1

El triangle de Sierpiński és el límit de fer el procediment anterior de manera infinita.

Construcció del triangle de Sierpiński: les 5 primeres iteracions.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  1. El triangle de Sierpiński té una dimensió fractal de \frac{\log(3)}{\log(2)}\approx 1,585, que es dedueix del fet que de fet és la unió de tres còpies de si mateix, cada una escalada pel factor 1/2.
  2. L'àrea d'un triangle de Sierpiński és zero (en mesura de Lebesgue). Això es pot veure, ja que a cada vegada que iterem, s'elimina un 25% de la iteració anterior, i al límit per tant quedarà una àrea nul·la.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]