Trisecció de l'angle

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Alguns angles
Regles. Els regles mostrats estan marcats — un regle ideal està sense marcar

El problema de trisecar l'angle és un problema clàssic de construcció amb regle i compàs dels antics matemàtics grecs.

Es permet utilitzar dues eines:

Problema: Donat un angle construir un altre angle que sigui una tercera part del primer.

Amb aquestes eines es demostra que el problema és irresoluble. Això requereix dibuixar l'arrel cúbica d'un nombre donat, construcció impossible amb les eines donades; vegeu a sota.

Malentesos habituals[modifica | modifica el codi]

És habitual escoltar «És impossible trisecar un angle!» Deixant de costat la manca d'una demostració, aquesta afirmació és falsa: només és impossible resoldre el problema en general utilitzant només regle i compàs. De fet es pot resoldre utilitzant altres eines i, a més a més, alguns angles poden ser trisecats amb regle i compàs.

Perspectiva i relació amb altres problemes[modifica | modifica el codi]

La bisecció d'angles arbitraris es va provar fa molt de temps.

Els matemàtics grecs ja coneixien la manera de dividir un segment qualsevol en un nombre arbitrari de segments mitjançant una construcció amb regle i compàs dibuixant línies paral·leles, la manera de biseccionar angles, de construir molts polígons, i de construir quadrats d'àrea dels quals fos el doble de la d'un polígon donat.

Els tres problemes que es van demostrar irresolubles van ser:

  • La trisecció de l'angle.

Els angles no poden ser trisecats en general[modifica | modifica el codi]

Sigui \mathbb{Q} el conjunt dels nombres racionals. Es diu que un nombre és construïble "en un pas" a partir d'un cos K si és una solució d'una equació de segon grau. Fixeu-vos que \pi/3 radians (60 graus, escrit 60°) és construïble.

Malgrat això l'angle de \pi/3 radians (60 graus) no pot ser trisecat. Com que \cos(\pi/3) = \cos(60^\circ) = 1/2.

Si 60° pogués ser trisecat el polinomi mínim de \cos(20^\circ) sobre el cos \mathbb{Q} seria de segon ordre. Vegeu la identitat trigonomètrica \cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha) \,. Sigui ara y = \cos(20^\circ).

D'aqui es dedueix, \cos(60^\circ) = 1/2 = 4y^{3} - 3y. Per tant 4y^{3} - 3y - 1/2 = 0 \,. Multiplicant per 2 dóna 8y^{3} - 6y - 1 = 0 \,, o (2y)^{3} - 3(2y) - 1 = 0 \,. Ara se substitueix x = 2y \,, de tal manera que x^{3} - 3x - 1 = 0 \,. Sigui p(x) = x^{3} - 3x - 1 \,.

El polinomi mínim per x (per tant \cos(20^\circ))és un factor de p(x). Si p(x) té una arrel racional, pel teorema del residu, ha de ser 1 o −1, i clarament es veu que cap de les dues és arrel. Per tant p(x) és irreductble dins \mathbb{Q}, i el polinomi mínim per \cos(20^\circ) és de grau 3.

Per tant, un angle de 60^\circ = \pi/3 radians no pot ser trisecat.

Alguns angles poden ser trisecats[modifica | modifica el codi]

Maltrat tot el que s'ha vist, alguns angles es poden trisecar. Donat un angle \theta, l'angle 3\theta trisecciona el \theta. Encara més, 2\pi/5 radians (72°) és constructible i, pot ser trisectat.[1] També hi ha angles que, malgrat no siguin constructibles, es poden trisecar, per exemple 3\pi/7.[2]

Un teorema general[modifica | modifica el codi]

Es denoten els nombres racionals com \mathbb{Q}:

Teorema: L'angle \theta es pot trisecar si i només si q(t) = 4t^{3}-3t-\cos(3\theta) és reduïble dins de l'extensió del cos \mathbb{Q}(\cos(\theta)).

La prova es pot derivar de la identitat trigonomètrica anterior.[3]

Mitjans per trisecar angles fora de la geometria grega[modifica | modifica el codi]

Origami[modifica | modifica el codi]

La trisecció, com moltes altres construccions impossibles amb regla i compàs, es pot fer amb operacions més potents (però físicament fàcils) com fer plecs de paper o origami. Els axiomes de Huzita (tipus d'operacions amb plecs de paper) poden construir extensions cúbiques (arrels cúbiques) de determinades longituds, mentre que les construccions amb regle i compàs només poden construir extensions quadràtiques (arrels quadrades).

Corba auxiliar[modifica | modifica el codi]

Les trisectrius són unes corbes que, si es poden dibuixar en el pla utilitzant altres mètodes, llavors es poden utilitzar que trisecar qualsevol angle.[4]

Amb un regle marcat[modifica | modifica el codi]

Uns altres mitjans per trisecar un angle qualsevol mitjançant una "petita" variació de les construccions gregues és via un regle amb dues marques separades una distància. La següent construcció és d'Archimedes, i s'anomena una construcció de Neusis, i.e., usa d'altres eines a part d'un regle sense marcar.

Tres fets per trisectar angles

Això requereix tres fets de geometria (a la dreta):

  1. Qualsevol conjunt d'angles d'una línia recta sumen 180°.
  2. La suma dels angles d'un triangle és 180°, i.
  3. Qualssevol costats iguals d'un triangle isòsceles forma un angle igual amb el tercer costat.
Angle a per trisecar

Mireu al diagrama de la dreta, denotem a l'angle que hi ha a l'esquerra del punt B. Es trisecciona l'angle a.

Primer, el regle té dues marques separades per la distància AB a part. S'allarguen les línies de l'angle i es dibuixa un cercle amb radi AB.

"Anchor" el punt A del regle, i es mou fins que una de les marques està al punt C, una al punt D, i.e., CD = AB. Òbviament es dibuixa un radi BC. El triangle BCD té dos costats iguals, per tant és isòsceles.

Això demostra que els segments AB, BC, i CD són tots de la mateixa llargada. El segment AC és irrellevant.

Ara: Triangles ABC i BCD són isòsceles, per tant, cadascun té dos angles iguals. Si re-dibuixem el diagrama, i etiquetem tots els angles:

Un altre cop, angle trisecat a amb un regle marcat

Hipòtesis: Donada la línia recta AD, i AB, BC, i CD són totes de la mateixa longitud,

Conclusió: angle  b = (1/3) a .

Demostració

Passos:

  1. A partir de la premisa 1) de dalt,  e + c = 180°.
  2. Mirant al triangle BCD, a partir de la premisa 2)  e + 2b = 180°.
  3. A partir de les dues últimes equacions,  c = 2b.
  4. A partir de la premisa 2),  d + 2c = 180°, thus  d = 180° - 2c , per tant a partir de,  d = 180° - 4b.
  5. A partir de la premisa 1) de sobre,  a + d + b = 180°, per tant  a + (180° - 4b) + b = 180°.

Simplificant,  a - 3b = 0 , or  a = 3b , i el teorema està demostrat.

Una altra vegada: aquesta construcció sortia fora de les demostracions permeses pels grecs utilitzant un regle sense marques. Hi ha un element inevitable d'inexactitud utilitzant el regle.

Amb una corda[modifica | modifica el codi]

Hutcheson va publicar un article a Mathematics Teacher, vol. 94, No. 5, May, 2001 on utilitzava una corda en lloc d'un regle i un compàs. Una corda es pot utilitzar tant com un regle (tensant-la) o com un compàs (fixant un punt i movent l'altre), però també es pot enrotllar al voltant d'un cilindre. Això va ser la clau de la solució de Hutcheson.

Hutcheson va construir un cilindre a partir d'angle que s'havia de trisecar. Va dibuixar un arc a través de l'angle, completant-lo com un cercle, i construint a partir d'aquest cercle un cilindre en el que hi havia inscrit un triangle equilàter (s'havia dividit en tres angle de 360 graus). Això després es traspassava ("mapped") a l'angle que s'havia de trisecar, amb una simple prova de triangles semblants. Per veure la demostració detallada i la seva generalització, vegeu l'article: Mathematics Teacher, vol. 94, No. 5, May, 2001, pp. 400-405.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. [enllaç sense format] http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=160571
  2. Cinc copies de 3\pi/7 combinades per fer 15\pi/7 que és un cercle senzer més \pi/7.
  3. Stewart, Ian. Teoria Galois. Chapman i Hall Mathematics, 1989, p. g. 58. ISBN 0412345501. 
  4. Trisection of an Angle

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Altres maneres de trisecar