Tronc (geometria)

tronc
Exemples: Un tronc pentagonal i un altre de quadrat
Cares	n trapezoides, 2 polígons
Arestes	3n
Vèrtexs	2n

En geometria, un tronc és la part d'un sòlid, normalment un con o piràmide que s'obté en tallar-lo amb dos plans paral·lels. Cadascuna de les interseccions amb els plans de tall en una base del tronc. El eix , si n'hi ha, és l'original del con o la piràmide. Un tronc és circular si tenen aquesta forma les bases, és recte si l'eix és perpendicular a les bases i oblic en cas contrari. Cons i piràmides es poden veure com a casos extrems de tronc, en què un dels plans de tall és tangent al vèrtex, quedant aquesta reduïda a un punt.

Fórmules

El volum d'un tronc és la diferència entre el volum del sòlid original, menys la part exterior als plans de tall:

$V = \left|\frac{h_1 b_1}{3}- \frac{h_2 B_2}{3}\right|,$

on $h_1 \,$ i $h_2 \,$ són les distàncies des del vèrtex a les bases major i menor, sent $b_1 \,$ i $B_2 \,$ les àreas d'aquestes.

Tronc de piràmide hexagonal.

Sigui $h \,$ l'alçada del tronc, és a dir la distància entre les bases, i tenint en compte que $h = \left|h_1 - h_2 \right|\,$ i que $\frac{b_1}{B_2}= \frac{h_1^2}{h_2^2}$, s'obté una fórmula per al volum, on es relaciona aquest amb l'altura del tronc i l'àrea de les seves bases, mitjançant la media heroniana.

$V = \frac{h}{3}(b_1+\sqrt{b_1 B_2}+B_2)$

Tronc cònic

En particular, el volum d'un tronc cònic és:

$V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)$

on $R_1 \,$ i $R_2 \,$ són els radis de les bases.

Tronc circular

Usant les definicions precedents, en el cas d'un con truncat, la fórmula es simplifica:

$V = \frac{\pi}{12}h D_1^2 \left (1 - \left (\frac{D_2}{D_1}\right)^2 \right)$, sent ' D'els diàmetres de les bases.

De la mateixa manera:

$V = \frac{\pi}{12}h \left (D_1^2 - \frac{D_2^2}{D_1/D_2}\right)$

Vegeu també

• Tronc de con

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Tronc (geometria)

• Weisstein, Eric W., "Tronc piramidal" a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., "Tronc cònic" a MathWorld (en anglès).
• Models de paper de troncs de piràmides
• Problema sobre un tronc de con el·líptic i el seu volum