Tronc (geometria)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria, el tronc és la part d'un sòlid, normalment d'un con o piràmide, que s'obté en tallar-lo amb dos plans paral·lels. Cadascuna de les interseccions amb els plans de tall és una base del tronc. L'eix, si existeix, és el del sòlid original. Un tronc és circular si les bases són circulars; d'altra banda, és recte si l'eix és perpendicular a les bases, i oblic en cas contrari.

Els cons i piràmides es poden entendre com a casos extrems de tronc en què un dels plans de tall és tangent al vèrtex.

Fórmules[modifica | modifica el codi]

El volum d'un tronc és la diferència entre el volum del sòlid original, menys la part exterior als plans de tall:

 V = \left|\frac{h_1 b_1}{3}- \frac{h_2 B_2}{3}\right|,

on  h_1 \, i  h_2 \, són les distàncies des del vèrtex a les bases major i menor, sent  b_1 \, i  B_2 \, les àrees d'aquestes.

Sigui  h \, l'alçada del tronc, és a dir la distància entre les bases, i tenint en compte que  h = \left|h_1 - h_2 \right|\, i que  \frac{b_1}{B_2}= \frac{h_1^2}{h_2^2}, s'obté una fórmula per al volum, on es relaciona aquest amb l'altura del tronc i l'àrea de les seves bases, mitjançant la mitjana heroniana.

 V = \frac{h}{3}(b_1+\sqrt{b_1 B_2}+B_2)

Tronc cònic[modifica | modifica el codi]

En particular, el volum d'un tronc cònic és:

 V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)

on  R_1 \, i  R_2 \, són els radis de les bases.

Tronc circular[modifica | modifica el codi]

Usant les definicions precedents, en el cas d'un con truncat, la fórmula es simplifica:

 V = \frac{\pi}{12}h D_1^2 \left (1 - \left (\frac{D_2}{D_1}\right)^2 \right) , on les D són els diàmetres de les bases.

De la mateixa manera:

 V = \frac{\pi}{12}h \left (D_1^2 - \frac{D_2^2}{D_1/D_2}\right)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Tronc (geometria)