Varietat de Calabi-Yau

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Secció bidimensional projectada en Espai tridimensional d'una varietat de Calabi-Yau de dimensió 6 embeguda en CP4

Una varietat de Calabi-Yau és una varietat de Kähler compacta amb una primera classe de Chern nul. El matemàtic Eugenio Calabi va conjecturar a 1957 que aquestes varietats admeten una mètrica amb curvatura de Ricci nul (una a cada classe de Kähler), és a dir seria una varietat "plana". Aquesta conjectura va ser provada per Shing-Tung Yau el 1977 i va esdevenir el teorema de Yau. Per tant, una varietat de Calabi-Yau es pot definir com a varietat Ricci-plana compacta de Kähler.

També és possible definir una varietat de Calabi-Yau com a varietat amb una holonomia SEU (n). Una altra condició equivalent és que la varietat admet una ( n , 0)-forma holomorfa global mai nul. Topològicament, les varietats de Calabi-Yau són exemples de varietats diferenciables que admeten una parametrització difeomórfica amb mòduls continus. D'aquesta manera, una varietat de Calabi-Yau pot veure embeguda en la categoria dels mòduls infinitament diferenciables, admetent per tant un grup fonamental no abelià depenent de la commutativitat de l'anell que defineix el mòdul.

Exemples[modifica | modifica el codi]

En una dimensió complexa, els únics exemples són família de bous. Observeu que la mètrica Ricci-plana en el toro és realment una mètrica plana, de manera que la Holonomia és el grup trivial que és isomorf a SEU (1).

En dues dimensions complexes, el bou T 4 i les varietats K3 proveeixen els únics exemples. T 4 s'exclou de vegades de la classificació de ser un Calabi-Yau, ja que la seva Holonomia (una altra vegada el grup trivial) és un subgrup propi de SEU (2), a comptes de ser isomorf a SEU (2). D'altra banda, el grup Holonomia d'K3 és el SEU (2) ple, així que pot correctament ser anomenat un Calabi-Yau en 2 dimensions.

En tres dimensions complexes, la classificació dels Calabi-Yau possibles és un problema obert. Un exemple de Calabi-Yau 3 dimensional és el quíntica a CP 4 .

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Els varietats de Calabi-Yau són importants en teoria de supercordes. En els models de supercordes més convencionals, deu dimensions conjecturals a teoria de cordes se suposen esdevenir les quatre de les quals estem assabentats, portant una certa classe de fibrat amb dimensió sis de la fibra. Compactificación en varietats de Calabi-Yau són importants perquè deixen alguna cosa de la supersimetria original intacta. Més exactament, la compactificación en un Calabi-Yau de tres dimensions (la dimensió real és 6) deixa un quart de la supersimetria original intacta.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Varietat de Calabi-Yau Modifica l'enllaç a Wikidata