Vector d'ona

El vector d'ona és un vector que apunta en la direcció de propagació de l'ona en qüestió i la magnitud és el nombre d'ona. La seva expressió en matemàtica és:

$\bold{k}= k \bold{o}= \frac{2 \pi}{\lambda}\bold{o}$

on $\vec{o}$ és l'adreça de la propagació de l'ona. D'aquesta manera, per a una ona genèrica hem de:

$\phi (\bold{r}, t) = \phi (\bold{k}\cdot \bold{r}- \omega t) = \phi (k_xx+k_yy+k_zz - \omega t)$

Aplicacions

Transversalitat de les ones electromagnètiques planes

El formalisme mitjançant el vector d'ona permet veure ràpidament que les ones electromagnètiques planes són transversals, és a dir, l'oscil·lació del camp elèctric i magnètic és perpedincular a la direcció de propagació de l'ona i perpendiculars entre si.

Per demostrar això considerem, sense pèrdua de generalitat, una ona electromagnètica plana de la forma:

$\bold{E}(\bold{r}, t) = \bold{E_0}e^{i (\bold{k}\cdot \bold{r}- \omega t)}, \qquad \bold{B}(\bold{r}, t) = \bold{B_0}e^{i (\bold{k}\cdot \bold{r}- \omega t)}$

Suposant una regió de l'espai sense densitat de càrrega $\scriptstyle \rho = 0$, la llei de Gauss per la divergència del camp elèctric ens porta a que:

$\boldsymbol \nabla \cdot \bold{E}= i \bold{k}\cdot \bold{E_0}= \frac{\rho}{\epsilon_0}= 0$

D'on obtenim la perpendicularitat entre el camp elèctric i la direcció de propagació:

(*) $\bold{\hat{o}}\cdot \bold{E_0}= 0 \rightarrow \bold{\hat{o}}\cdot \bold{E}= 0 \qquad \rightarrow \qquad \bold{E}\ \bot \ \bold{\hat{o}}$

Usant ara la llei de Faraday per el rotacional del camp elèctric tenim:

(**) $\boldsymbol \nabla \times \bold E = i \bold k \times \bold E = - \frac{\part \bold B}{\part t}= i \omega \bold B$

De(**), per les propietats del producte vectorial, es dedueix:

$\bold{\hat o}\ \bot \ \bold B$

Per tant de les expressions(*)i(**)pot concloure que el camp elèctric és perpendicular al vector d'ona, i per tant a la direcció de propagació, i que el camp magnètic és perpendicular tant a la direcció de propagació com al camp elèctric, formant els vectors $\scriptstyle \{\bold k, \bold E, \bold B \}$ formen un triedre que en cada punt de l'espai constitueix una base vectorial.