Wronskià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el Wronskià és una funció que deu el nom a la matemàtic polonès Josef Hoene-Wronski, especialment important en l'estudi d'equacions diferencials.

Donat un conjunt de n funcions f1, ..., fn, el Wronskià W(f1, ..., fn) es defineix com a:



W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}

Això és, el determinant de la matriu construïda col·locant les funcions a la primera fila, la primera derivada de cada funció a la segona fila, i així fins a la derivada n-1, formant així una matriu quadrada.

En una equació diferencial lineal de segon ordre, es pot calcular el Wronksià més fàcilment mitjançant la identitat Abeliana.

El Wronskià i la independència lineal[modifica | modifica el codi]

El Wronksià es pot fer servir per determinar si un conjunt de funcions derivables és linealment independent en un cert interval:

  • Si el Wronskià és diferent de zero en algun punt de l'interval, llavors les funcions associades són linealment independents en aquest interval.

Això és útil en diverses situacions. Per exemple, si es vol verificar que dues solucions d'una equació diferencial ordinària són linealment independents, es pot fer servir el Wronskià. Cal tenir en compte que si el Wronskià és zero uniformament al llarg de l'interval, les funciones poden o no ser linealment dependents. Sovint es creu que W = 0 arreu implica dependència lineal, i no és el cas, com es pot veure en el tercer exemple. En comptes d'això:

  • Si un conjunt de funcions és linealment dependent en un interval, llavors el Wronskià corresponent és zero en aquest interval.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Donades les funcions x^2, x, i 1, definides per x un nombre real. El Wronskià serà:

W = 
\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 \\
2x & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -2.
Es pot observar que W no és uniformament zero, per tant aquestes funcions són linealment independents.
  • Donades les funcions 2x^2+3, x^2, i 1. Aquestes funcions són clarament dependents, ja que 2x^2 + 3 = 2(x^2) + 3(1). Així, el Wronskià serà zero, com es veu seguidament:

W = 
\begin{vmatrix}
2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\
4x & 2x & 0 \\
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0.
  • Tal com s'ha dit anteriorment, si el Wronskià és zero, no implica en general que les funcions involucrades siguin linealment dependents. Donades les funcions x^3 i |x^3|; això és, el valor absolut de x^3. La segona funció es pot escriure com a:

|x^3| = \left\{
\begin{matrix}
-x^3, & \mathrm{si} \; x < 0 \\
x^3, & \mathrm{si} \; x \geq 0
\end{matrix}
\right.
Es pot comprovar que aquestes funcions són linealment independents en un interval dels reals; tanmateix, el seu Wronskià és zero:

W = \left\{
\begin{matrix}
 \begin{vmatrix}
 x^3 & -x^3 \\
 3x^2 & -3x^2
 \end{vmatrix}
= -3x^5 + 3x^5 = 0, & \mathrm{si} \; x < 0 \\
 \begin{vmatrix}
 x^3 & x^3 \\
 3x^2 & 3x^2
 \end{vmatrix}
= 3x^5 - 3x^5 = 0, & \mathrm{si} \; x \geq 0
\end{matrix}
\right.