En Teoria de la probabilitat i Estadística, la funció generatriu de moments o funció generadora de moments d'una variable aleatòria és una funció que conté tota la informació de les propietats probabilístiques de la variable. En comparació amb la funció característica, té l'avantatge que al ser una funció real de variable real es pot treballar amb eines més elementals; però, d'altra banda, atès que hi ha variables que no tenen funció generatriu de moments, els resultats que s'obtenen són menys generals.
A més de caracteritzar la distribució de probabilitat, la funció generatriu de moments té molt bones propietats en relació amb la suma de variables aleatòries independents i amb la convergència en distribució.
Sigui una variable aleatòria. La funció generatriu de moments (f.g.m.) de en el punt , que designarem per o per , es defineix [1][2]per
sempre que aquesta esperança sigui finita. Atès que , l'esperança anterior sempre es pot calcular, però pot donar infinit. Quan és finita en un entorn de 0 (o en un conjunt més gran que inclogui un entorn de 0), es diu que la variable aleatòria té funció generatriu de moments.
Si és discreta, que pren valors amb probabilitats , llavors,
Exemple 1. Sigui una variable aleatòria binomial. Escrivim . Llavors
que és finita per a qualsevol . Així, la f.g.m. de és
Exemple 2. Sigui una variable exponencial amb paràmetre ,amb funció de densitat
Aleshores
Així, només està definida per ; concretament, la f.g.m. és
Exemple 3. Sigui una variable aleatòria amb distribució de Cauchy amb funció de densitat
Aleshores, per qualsevol ,
Per tant, no té f.g.m.
Remarca. Tal com hem dit a la definició, sempre que es diu que una variable aleatòria té f.g.m. es sobreentén que té f.g.m. en un entorn de zero o un conjunt que contingui un entorn de zero.
Exemple 4. Continuant amb l'exemple 2 de més amunt, una variable exponencial amb paràmetre . Havíem calculat que la f.g.m. és
Per a , tenim que , i llavors l'expressió és la suma d'una sèrie geomètrica de raó en valor absolut menor que 1:
En conseqüència, atès que el desenvolupament en sèrie de potències és únic, comparant aquesta fórmula amb la donada a la propietat 3, deduïm que els moments de són
Funció generatriu i suma de variables independents[modifica]
Siguin variables aleatòries independents, amb f.g.m. respectivament. Aleshores [2] la variable aleatòria
té f.g.m. que val
La funció generatriu de moments determina la distribució de la variable aleatòria[modifica]
Siguin i dues variables aleatòries amb f.g.m. i respectivament. Si per algun ,
Una propietat important de les funcions característiques diu que si una successió de variables aleatòries convergeix en distribució a una variable aleatòria, aleshores les funcions característiques de les variables de la successió convergeixen a la funció característica del límit. Aquesta propietat no és certa en general per a funcions generatrius de moments. Curtiss [5] dóna un contraexemple.
En general, la convergència en distribució no implica la convergència de les corresponens funcions generatrius de moments
Sigui una variable aleatòria amb funció de densitat
on . Es tracta de la densitat d'una distribució de Cauchy centrada amb paràmetre d'escala , , truncada entre i , i normalitzada per tal que la seva integral sobre tot sigui 1. Nadarajah[6] l'anomena distribució de Cauchy truncada.
La funció de distribució de és
És clar que
Per tant,
D'altra banda, la funció generatriu de moments de , que existeix per a tot ja que és afitada, compleix
Es comprova, calculant la integral de la dreta, que per qualsevol ,
Però la funció generatriu del límit de la successió és
Domini de la funció generatriu de moments[modifica]
Sigui una variable aleatòria amb f.g.m. . S'anomena domini de la f.g.m.,[4] i es designa per , al conjunt
El conjunt és un interval, finit o infinit, que conté el 0.
En efecte, en primer lloc, com que per , , tenim que . Ara, si , i prenem , per la desigualtat de Hölder amb i tenim que
Per tant, . D'on es dedueix que ha de ser un interval.
Extensió al camp complex. La transformada de Laplace[modifica]
Recordem que una variable aleatòria a valors complexos és una expressió de la forma
on i són variables aleatòries ordinàries. Si ambdues i tenen esperança, aleshores es defineix l'esperança de per
Designem per el mòdul d'un nombre complex , llavors, la condició per tal que tingui esperança és ja que
Sigui una variable aleatòria. S'anomena transformada de Laplace[4][5] de en el punt a
sempre que aquesta esperança existeixi, és a dir,
Cal notar que si té funció de densitat , aleshores
que és la transformada de Laplace bilateral ordinària de la funció , a part del signe de l'exponent, que en probabilitats es pren positiu per coherència amb les altres notacions. En el cas general, si té funció de distribució , llavors
on la integral de la dreta és una integral de Lebesgue-Stieltjes, i que és la transformada de Laplace bilateral clàssica (excepte el signe de l'exponent); per les propietats de la transformada de Laplace en aquest context general veieu el clàssic llibre de Widder .[7]
Exemple 5. Continuem amb la distribució exponencial de paràmetre de l'exemple 2. Llavors
i la integral de la dreta és la transformada de Laplace clàssica de la funció en el punt . Llavor s'obté (veieu [8] per al càlcul d'aquesta transformada de Laplace)
per deduir que el número complex està sobre la circumferència unitat i, per tant, té mòdul 1.
Retornant a la transformada de Laplace, tenim que
Llavors, si designem per el domini de la transformada de Laplace:
tindrem que
Llavors, si, per exemple, amb , serà la franja del pla complex formada per tals que , la qual inclourà l'eix imaginari , vegeu la Figura 2.
Relacions entre la funció generatriu de moments, la transformada de Laplace i la funció característica.
Sigui una variable aleatòria amb funció generatriu de moments en per a . Tal com hem comentat, la transformada de Laplace existirà en la franja i, òbviament,
Demostració de la propietat que la funció generatriu de moments determina la distribució de la variable aleatòria
Aquesta demostració és de Curtiss [5] i utilitza el fet que les funcions característiques determinen la llei d'una variable aleatòria. Siguin i dues variables aleatòries amb f.g.m. i , transformades de Laplace i i funcions característiques i respectivament. Suposem que per a algun ,
Aleshores, les transformades de Laplace compliran
i llavors,[9] coincidiran en tot el seu domini d'analicitat:
Tots els resultats anteriors s'estenen al cas vectorial de la següent manera. Sigui un vector aleatori. La funció
definida en aquells punts on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments[10] de . Quan està definida en un entorn de , es diu que el vector aleatori té funció generatriu de moments.
Remarcarem les tres propietats següents que són especialment útils:
Unicitat.[11] Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de , aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.
Independència.[11] Siguin i dos vectors aleatoris tal que el vector té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores són independents si i només si
Moments.[10] Si un vector aleatori té funció generatriu de moments en un entorn de , aleshores té moments de tots els ordres i
Vegeu uns exemples a la secció següent.
Funció generatriu de moments i funcions característiques d'algunes distribucions importants[modifica]
↑Sanz i Solé, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 118. ISBN 84-8338-091-9.
↑ 2,02,12,22,3Degroot, Morris H. Probabilidad y Estadística. 2a. edición. Mèxico: Addison-Wesley Iberoamericana, 1988, p. 190-194. ISBN 0-201-64405-3.
↑Athreya, Krishna Balasundaram; Lahiri, Soumendra Nath. Measure theory and probability theory. New York: Springer, 2006, p. 194-196. ISBN 978-0-387-32903-1.
↑ 4,04,14,2Hoffmann Jørgensen, Jørgen. Probability with a view toward statistics. 1. Boca Raton: CRC Press, 2003, p. 283-284. ISBN 978-0-412-05221-7.
↑Widder, D. V.. The Laplace Transform. London: Princeton University Press, 1946.
↑Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. Basic complex analysis. 2. ed., 9. pr. New York: Freeman, 1997, p. 527. ISBN 978-0-7167-1814-7.
↑Carrier, George F.; Krook, Max; Pearson, Carl E. Functions of a complex variable: theory and technique. Philadelphia (Pa.): SIAM, 2005, p. 65. ISBN 978-0-89871-595-8.
↑ 11,011,1Seber, George Arthur Frederick; Lee, Alan J. Linear regression analysis. 2nd ed. Hoboken (N.J.): J. Wiley, 2003, p. 13-14. ISBN 978-0-471-41540-4.