Grup de Carnot: diferència entre les revisions

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
(Pàgina nova, amb el contingut: «En matemàtiques, un '''grup de Carnot''' és un grup de Lie nilpotent simplement connex, juntament amb la derivació de la seva àlgebra de Lie tal que el subespai de valor propi igual a 1 genera l'àlgebra de Lie. Al subfibrat del fibrat tangent associat a aquest espai propi se l'anomena horitzontal. En un grup de Carnot, qualsevol norma en el subfibrat horitzontal dóna lloc a una mètri...».)
Etiqueta: editor de codi 2017
(Cap diferència)

Revisió del 04:29, 27 oct 2021

En matemàtiques, un grup de Carnot és un grup de Lie nilpotent simplement connex, juntament amb la derivació de la seva àlgebra de Lie tal que el subespai de valor propi igual a 1 genera l'àlgebra de Lie. Al subfibrat del fibrat tangent associat a aquest espai propi se l'anomena horitzontal. En un grup de Carnot, qualsevol norma en el subfibrat horitzontal dóna lloc a una mètrica de Carnot–Carathéodory. Les mètriques de Carnot–Carathéodory tenen dilacions mètriques; són cons asimptòtics de grups nilpotents finitament generats, i de grups de Lie nilpotents, així com cons tangents de varietats subriemannianes.

Definició formal i propietats bàsiques

Un grup de Carnot (o estratificat) de passos és un grup de Lie connex, simplement connex i de dimensió finita, l'àlgebra de Lie del qual admet una estratificació de passos. És a dir, existeixen subespais lineals no trivials tals que

, per , i .

Noti's que aquesta definició implica que el primer estrat genera tota l'àlgebra de Lie .

La funció exponencial és un difeomorfsme de a . Utilitzant aquestes coordenades exponencials, es pot identificar amb , on i l'operació venen donats per la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff.

De vegades convé més escriure un element com

amb per .

La raó d'això és que té una operació de dilació intrínseca donada per

.

Exemples

El Grup de Heisenberg sobre el cos dels nombres reals és un grup de Carnot que es pot veure com un model pla dins de la geometria sub-riemanniana igual que l'espai euclidià dins de la geometria riemanniana. El grup d'Engel també és un grup de Carnot.

Història

Els grup de Carnot van ser introduïts, sota aquest nom, per Pierre Pansu (1982, 1989)

i John Mitchell (1985)

. Tanmateix, el concepte havia estat introduït abans per Gerald Folland (1975), sota el nom de grup estratificata.

Vegeu també

Referències