Àlgebra multilineal

Construcció de productes de tensors.

En la matemàtica, l'àlgebra multilineal és una àrea d'estudi que generalitza els mètodes de l'àlgebra lineal. Els objectes d'estudi són els productes tensorials d'espais vectorials i les transformacions multi-lineals entre els espais. Es tracta d'una eina matemàtica que s'utilitza en l'enginyeria, en l'aprenentatge automàtic, en la física, i més generalment en les matemàtiques.

L'àlgebra multilineal estén els principis de l'àlgebra lineal a dimensions superiors, treballant amb objectes com tensors, mapes multilineals i productes exteriors. La seva aplicació abasta diversos camps, proporcionant eines essenacials per a resoldre problemes complexes en disciplines com la física, la informàtica, l'economia i l'aprenentatge automàtic.

En física, l'àlgebra multilineal exerceix un paper cabdal en l'estudi dels camps tensorials, que descriuen les propietats físiques dels objectes en l'espai-temps, com les tensions, la deformació i els camps electromagnètics. Els tensors, que són generalitzacions d'escalars i vectors, s'utilitzen en la teoria general de la relativitat per descriure la curvatura de l'espai-temps. A més, en la mecànica quàntica, l'àlgebra multilineal és essencial per treballar amb operadors que actuen sobre estats quàntics de múltiples partícules i formular problemes multidimensionals.

En informàtica, l'àlgebra multilineal és fonamental en l'aprenentatge automàtic, especialment en àrees com l'aprenentatge profund, en què els tensors s'utilitzen per representar dades en xarxes neuronals. Operacions com la descomposició de tensors permeten extreure patrons i estructures significatives de grans conjunts de dades. Les xarxes neuronals convolutives (CNN, per les seves sigles en anglès), per exemple, depenen en gran manera de les operacions amb tensors per a processar i reconèixer dades a partir d'imatges. A més, l'àlgebra multilineal és clau en la informàtica gràfica, camp en què es realitzen transformacions i projeccions en l'espai 3D utilitzant matrius i tensors.

En economia, l'àlgebra multilineal té aplicacions en problemes d'optimització, especialment en àrees com la teoria de jocs, on els processos de presa de decisions en múltiples agens poden ser modelats amb l'ajuda de tensors i arranjaments multidimensionals. També s'utilitza l'àlgebra multilineal en l'estudi de models d'insum producte, que descriuen les interelacions entre els diferents sectors d'una economia.

Finalment, les ciències biològiques es beneficien de l'àlgebra multilineal a través d'aplicacions en la genòmica, on les descomposicions de tensors s'utilitzen per analitzar grans conjunts de dades biològiques, com els nivells d'expressió gènica en diferents condicions. En biologia de sistemes, aquestes tècniques ajuden a modelar i entendre xarxes bioquímiques complexes.

Origen

En un espai vectorial de dimensió n, s'utilitzen vectors en la majoria de casos. Tanmateix, segons Hermann Grassmann i altres autors, aquesta presumpció no mostra la complexitat de considerar les estructures de parelles, trios, i multivectors en general. Amb diverses possibilitats combinatòries, l'espai de multivectors té 2ⁿ dimensions. La formulació abstracta del determinant n'és l'aplicació més immediata. L'àlgebra multilineal té també aplicacions en l'estudi mecànic de la resposta d'un material a la tensió i deformació amb diferents mòduls d'elasticitat. Aquesta referència pràctica va donar lloc a la paraula tensor, per descriure els elements d'un espai multilineal. L'estructura extra en un espai multilineal ha fet que tingui un paper important en diversos estudis en matemàtiques avançades. Tot i que Grassmann va iniciar el tema l'any 1844 amb el seu Ausdehnungslehre, que es va tornar a publicar l'any 1862, la seva obra no va ser acceptada de seguida, ja que la comprensió de l'àlgebra lineal ja suposava un repte prou important.

El tema de l'àlgebra multlineal s'aplica en alguns estudis de càlcul multivariable i varietats en què apareix la matriu jacobiana. Els diferencials infinitesimals del càlcul d'una sola variable esdevenen formes diferencials en el càlcul mutivariable, i la seva manipulació es fa mitjançant àlgebra exterior.

Després de Grassmann, Victor Schlegel va fer progressos en àlgebra multilineal l'any 1872, quan va publicar la primera part del seu System der Raumlehre, i per Elwin Bruno Christoffel. Un avanç important en l'àlgebra multilineal va venir en l'obra de Gregorio Ricci-Curbastro i Tullio Levi-Civita. Va ser la forma de càlcul diferencial absolut de l'àlgebra multilineal que Marcel Grossmann i Michele Besso introduirien a Albert Einstein. La publicació l'any 1915 de la relativitat general d'Albert Einstein, en què s'explicava la precessió del periheli de Mercuri, van establir la importància de l'àlgebra multilineal i dels tensors en la física i en les matemàtiques.

L'any 1958, Nicolas Bourbaki va incloure un capítol sobre àlgebra multilineal sota el títol "Algèbra Multilinéair" en la seva sèrie Éléments de mathématique, específicament en el llibre sobre àlgebra. El capítol cobreix temes com les funcions bilineals, el producte tensorial de dos mòduls, i les propietats dels productes tensorials.

Notació

L'àlgebra multilineal fa un ús intensiu de la notació multi-índex. Una notació d'aquest tipus fa representar les combinacions lineals per un conjunt de dos o més índexs repetits.

• En el cas elemental (tensors de rang 1 contravariant) tenim, utilitzant la convenció de la suma d'Einstein: $\scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,$. La qual cosa indica que l'objecte X, és la combinació lineal:

$\scriptstyle \sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}$

sobre els vectors bàsics $\scriptstyle e_{s}\,$, i els $\scriptstyle X^{s}\,$ anomenats els components d'X Aquí $n$ és la dimensió (algebraica) d'espai on "viu" X. Per convenció es diu a aquests 1-contra-tensor.

• En rang 1 també hi ha els 1-co tensor, és a dir mapeigs lineals des de l'espai triat cap al cos dels escalars. S'escriuen com a combinació lineal dels funcionals lineals $\scriptstyle i^{s}$, transformacions lineals $\scriptstyle V\to \mathbb {K}$ que satisfan: $\scriptstyle i^{s}(e_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }$, on (com clàssicament) s'està utilitzant el delta de Kronecker. Així qualssevol covectors $\scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K}$ s'escriuen com $\scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,$, notació que abreuja $\scriptstyle f=f_{1}e^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,$.
• Tensors de rang dos:
  • Un tensor de rang dos contravariant és $\scriptstyle B=B^{st}e_{s}\otimes e_{t}$.
  • Un tensor de rang dos covariant és $\scriptstyle C=C_{st}e^{s}\otimes i^{t}$.
  • I un tensor de rang dos mixt és $\scriptstyle D={D^{s}}_{T}e_{s}\otimes e_{t}$. Això indica una combinació lineal bi-indexada.

Per exemple,

$\scriptstyle B=B^{11}e_{1}\otimes e_{1}+B^{12}e_{1}\otimes e_{2}+B^{21}e_{2}\otimes e_{1}+B^{22}e_{2}\otimes e_{2}$

si la dimensió de l'espai és dos.

• Generalitzant l'anterior s'escriu $\scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}$ per representar els components d'un tensor mixt A, que és p-contravariant i q-covariant. Però

$\scriptstyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}e_{I_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes i^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes i^{j_{q}}$

representa una combinació lineal multi-indexada.

Tot això només ha estat considerant que l'espai vectorial és de dimensió finita igual a n.

Producte tensorial

Si tenim dos espais vectorials V, W, amb respectives bases $\{b_{1},...,b_{n}\}$, $\{c_{1},...,c_{m}\}$ es defineix el seu producte tensorial

$\scriptstyle V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle$

és a dir l'espai vectorial generat pels nous símbols

$\scriptstyle \{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}$

I per tant si un objecte que viu en (és part de) $\scriptstyle V\otimes W$ llavors aquest es pot representar com una combinació lineal

$\scriptstyle X=X^{11}b_{1}\otimes C_{1}+X^{12}b_{1}\otimes C_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}$

que es pot abreujar com

$\scriptstyle X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}$ els índexs repetits s o t, un cop dalt i un cop baix –segons el conveni de sumació–, un a un.

Aquesta definició és absolutament abstracta, però des del punt de vista algebraic no hi ha cap problema en explorar totes les possibilitats del producte tensorial. Un munt d'espais sorgeix (i d'importància capital) simplement en considerar un espai vectorial V i el seu dual $V^{*}$ un obté els espais:

$\scriptstyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }$

$\scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)$

$\scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,$

$\scriptstyle V\wedge V$

$\scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,$

Tots ells d'ús quotidià en la geometria diferencial, geometria algebraica, àlgebra commutativa, relativitat i quàntica, teories de camp, QFT, TQFT i altres.

Tensors i formes

Sigui $V$ generat pels $b_{i}$. Simbolitzem amb $\beta ^{\mu }$ la base dual $\scriptstyle V^{*}$. Qualsevol element de $\scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}$ s'escriu de la forma $\scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }$. Aquesta mateixa expressió pot ser vista com un mapa bilineal

${\begin{array}{rcl}V\times V&{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} \\\scriptstyle (b_{i},b_{j})&\mapsto &B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}\\\end{array}}$

sabent que $\scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}$, on $\delta$ és la delta de Kronecker.

Un altre de rang dos és $\scriptstyle V\otimes V^{*}$. Els elements d'aquí es veuen com combinacions lineals bi-indexades $\scriptstyle {B^{\mu }}_{\nu }b_{\mu }\otimes \beta ^{\nu }$.

Utilització en topologia algebraica

Cap a mitjans del segle XX, es fan reformular els tensors de forma més abstracta. El tractat Àlgebra multilineal del grup Bourbaki va tenir un especial impacte; de fet, el terme àlgebra multilineal pot haver-se originat en aquest escrit.

Aleshores, una de les raons va ser una nova àrea d'aplicació, l'àlgebra homològica. El desenvolupament de la topologia algebraica durant la dècada de 1940 va suposar un incentiu afegit per al desenvolupament d'un tractament purament algebraic del producte tensorial. El càlcul de grups d'homologia del producte de dos espais topològics implica el producte tensor; però només en els casos més senzills, com un toroide, es calcula directament d'aquesta manera (vegi's teorema de Künneth). Els fenòmens topològics eren suficientment subtils com per requerir millors conceptes fundacionals, tècnicament parlant, calia definir els functors de Tor.

El material a organitzar era bastant extens, incloent també idees que es remuntaven a Hermann Grassmann, les idees de la teoria de formes diferencials que havien conduït a la cohomologia de De Rham, així com idees més elementals com el producte de cunya que generalitza el producte vectorial.

La redacció resultant del tema, bastant severa, per part de Bourbaki, va rebutjar per complet un enfocament del càlcul vectorial (la via del quaternió, és a dir, en el cas general, la relació amb els grups de Lie), i en el seu lloc, va aplicar un enfocament nou utilitzant la teoria de categories, amb l'enfocament dels grups de Lie conisderat com un tema a part. Atès que axiò condueix a un tractament molt més net, probablement no hi havia marxa enrere en termes purament matemàtics. (Estrictament, es va invocar l'enfocament de propietats universals; que és una mica més general que la teoria de categories, i la relació entre ambdues com vies alternatives també s'estava aclarint, al mateix temps).

De fet, el que es va aconseguir és essencialment una explicació de per què els espais tensorials són les construccions necessàries per convertir problemes multilineals en problemes lineals. No hi ha cap intuïció geomètrica en aquest enfocament purament algebraic.

En tornar a expressar els problemes en termes de l'àlgebra multilineal, existeix una "millor solució" clara i ben definda: les restriccions que exerceix la solució són exactament les que es necessiten en la pràctica. En general, no cal invocar cap construcció ad hoc, idea geomètrica o recurs a sistemes de coordenades. En l'argot de la teoria de categories, tot és totalment natural.

Alguns conceptes desenvolupats (llista incompleta)

• espai dual
• covectors
• geometria diferencial
• càlcul tensorial
• covariància i contravariància de vectors
• tensor mètric
• derivada covariant
• tensor de curvatura de Riemann
• símbols de Christoffel
• àlgebra exterior
• forma diferencial
• curvatura
• teorema de Stokes
• Símbol de Levi-Civita
• Camp vectorial
• Camp tensorial
• Pullback