Darrer teorema de Fermat

Per a altres significats, vegeu «Petit teorema de Fermat».

L'edició de 1670 de Arithmetica de Diofant inclou el comentari de Fermat, conegut com el seu Últim teorema (Observatio Domini Petri de Fermat), publicat pòstumament pel seu fill.

El darrer teorema de Fermat, conegut actualment també com teorema de Wiles-Fermat, afirma que l'equació diofàntica

$x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$

no té cap solució entera per a n > 2 en què x, y i z són diferents de zero.

És un dels teoremes més famosos de la història de les matemàtiques i fins a l'any 1995 no es disposava d'una demostració (i, per tant, en rigor s'havia d'anomenar conjectura de Fermat). Fixem-nos que quan n = 2 l'equació equival al teorema de Pitàgores i òbviament té infinites solucions.

El matemàtic francès Pierre de Fermat fou el primer a proposar el teorema, però malauradament la demostració que suposadament havia realitzat no s'ha trobat mai. Fermat només va deixar escrit en un marge de la seva còpia de l'Aritmètica de Diofant el plantejament del teorema i l'afirmació que havia trobat una demostració del teorema. En les seves pròpies paraules:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet

és a dir,

«És impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una potència quarta sigui la suma de dues potències quartes i, en general, que qualsevol nombre que sigui una potència superior a dos sigui la suma de dues potències del mateix valor. He descobert una demostració veritablement meravellosa d'aquesta proposició, però aquest marge és massa estret perquè hi càpiga.»

L'afirmació de Fermat va esdevenir immediatament un problema que molts matemàtics van intentar resoldre. De mica en mica van anar sorgint demostracions parcials (per exemple, Sophie Germain demostrà el teorema en el cas en què n és un nombre primer i 2n + 1 també ho és) o demostracions de teoremes associats a aquest. També es demostrà el teorema per a valors molt determinats de n: Euler el demostrà per a n = 3, el mateix Fermat deixà constància de la seva demostració per a n = 4, Legendre i Dirichlet per a n = 5 i aquest darrer també per a n = 14.

El 1993 Andrew Wiles anuncià la demostració general del teorema, demostració que resultà errònia, però que ell mateix corregí vers la fi de 1994. Amb aquesta demostració, que implica l'ús de funcions el·líptiques i representacions de Galois, un dels més famosos problemes de la matemàtica quedava tancat. Nogensmenys, val la pena preguntar-se si realment Fermat aconseguí una demostració del seu teorema i, en cas afirmatiu, quin mètode utilitzà, ja que el camí seguit per Wiles fa servir eines matemàtiques inexistents en l'època de Fermat.

Visió general

Orígens pitagòrics

L’equació pitagòrica, $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, té un nombre infinit de solucions enteres positives per a $x$, $y$, i $z$; aquestes solucions es coneixen com a ternes pitagòriques (l'exemple més simple és 3, 4, 5). Al voltant de 1637, Fermat va escriure al marge d'un llibre que l'equació més general $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ no tenia solucions en nombres enters positius si $n$ és un nombre enter més gran que 2. Tot i que afirmava tenir una demostració general de la seva conjectura, Fermat no va deixar cap detall de la seva demostració, i mai se n'ha trobat cap. La seva afirmació va ser descoberta uns 30 anys més tard, després de la seva mort. Aquesta afirmació, que va arribar a ser coneguda com l'últim teorema de Fermat, va romandre sense resoldre durant els següents tres segles i mig i es va resoldre amb matemàtiques que Fermat no hauria conegut.

L'afirmació va acabar convertint-se en un dels problemes no resolts més notables de les matemàtiques. Els intents de demostrar-ho van impulsar un desenvolupament substancial de la teoria dels nombres i, amb el temps, l'últim teorema de Fermat va guanyar importància com a problema no resolt en matemàtiques.

Desenvolupaments i solucions posteriors

«

Jo mateix era molt escèptic que el bell vincle entre l'últim teorema de Fermat i la conjectura de Taniyama-Shimura pogués conduir a res, perquè he de confessar que no pensava que la conjectura de Taniyama-Shimura fos accessible a la demostració. Per molt bonic que fos aquest problema, semblava impossible de demostrar realment. He de confessar que pensava que probablement no el veuria demostrat durant la meva vida.

»

El cas especial $n=4$, demostrada pel mateix Fermat, és suficient per establir que si el teorema és fals per a algun exponent $n$ que no és un nombre primer, també ha de ser fals per a alguns nombres més petits $n$, de manera que només els valors primers de $n$ Cal més investigació. Durant els dos segles següents (1637–1839), la conjectura només es va demostrar per als nombres primers 3, 5 i 7, tot i que Sophie Germain va innovar i va demostrar un enfocament que era rellevant per a tota una classe de nombres primers. A mitjans del segle xix, Ernst Kummer va ampliar això i va demostrar el teorema per a tots els nombres primers regulars, deixant que els nombres primers irregulars s'analitzessin individualment. Basant-se en el treball de Kummer i utilitzant estudis informàtics sofisticats, altres matemàtics van poder ampliar la demostració per cobrir tots els exponents primers fins a quatre milions, però una demostració per a tots els exponents es considerava extremadament difícil o impossible d'assolir amb els coneixements de l'època.

Al voltant de 1955, els matemàtics japonesos Goro Shimura i Yutaka Taniyama sospitaven que podria existir un vincle entre les corbes el·líptiques i les formes modulars, dues àrees completament diferents de les matemàtiques. Coneguda en aquell moment com la conjectura de Taniyama-Shimura, no tenia cap connexió aparent amb l'últim teorema de Fermat. Es considerava àmpliament significativa i important per si mateixa, però (com el teorema de Fermat) es considerava completament inaccessible a la demostració.

El 1984, Gerhard Frey va notar un vincle aparent entre aquests dos problemes anteriorment no relacionats i no resolts, i va donar un esquema que suggeria que es podia demostrar. La demostració completa que els dos problemes estaven estretament relacionats va ser aconseguida el 1986 per Ken Ribet, basant-se en una demostració parcial de Jean-Pierre Serre, que va demostrar totes les parts menys una coneguda com la "conjectura epsilon" (Teorema de Ribet i corba de Frey). Aquests articles de Frey, Serre i Ribet van mostrar que si la conjectura de Taniyama-Shimura es podia demostrar almenys per a la classe semiestable de corbes el·líptiques, també es seguiria automàticament una demostració de l'últim teorema de Fermat. La connexió es descriu a continuació: «qualsevol solució que pogués contradir l'últim teorema de Fermat també es podria utilitzar per contradir la conjectura de Taniyama-Shimura. Per tant, si es descobrís que la conjectura de Taniyama-Shimura era certa, aleshores no podria existir cap solució que contradigués l'últim teorema de Fermat, és a dir, que l'últim teorema de Fermat també havia de ser cert».

Tot i que ambdós problemes eren descoratjadors i es consideraven àmpliament "completament inaccessibles" a la demostració en aquell moment, aquest va ser el primer suggeriment d'una ruta per la qual l'últim teorema de Fermat es podia estendre i demostrar per a tots els nombres, no només per a alguns. A diferència de l'últim teorema de Fermat, la conjectura de Taniyama-Shimura va ser una important àrea de recerca activa i es considerava més a l'abast de les matemàtiques contemporànies. Tanmateix, l'opinió general era que això simplement demostrava la impracticabilitat de demostrar la conjectura de Taniyama-Shimura. La reacció citada del matemàtic John Coates va ser comuna:

En sentir que Ribet havia demostrat que l'enllaç de Frey era correcte, el matemàtic anglès Andrew Wiles, que tenia una fascinació infantil per l'últim teorema de Fermat i tenia experiència treballant amb corbes el·líptiques i camps relacionats, va decidir intentar demostrar la conjectura de Taniyama-Shimura com una manera de demostrar l'últim teorema de Fermat. El 1993, després de sis anys treballant en secret en el problema, Wiles va aconseguir demostrar prou de la conjectura per demostrar l'últim teorema de Fermat. L'article de Wiles era enorme en mida i abast. Es va descobrir un defecte en una part del seu article original durant la revisió per parells i va requerir un any més i la col·laboració amb un antic estudiant, Richard Taylor, per resoldre'l. Com a resultat, la demostració final del 1995 va anar acompanyada d'un article conjunt més petit que mostrava que els passos fixos eren vàlids. L'assoliment de Wiles va ser àmpliament divulgat a la premsa popular i es va popularitzar en llibres i programes de televisió. Les parts restants de la conjectura de Taniyama-Shimura-Weil, ara demostrada i coneguda com el teorema de la modularitat, van ser posteriorment demostrades per altres matemàtics, que van desenvolupar el treball de Wiles entre 1996 i 2001. Per la seva demostració, Wiles va ser honorat i va rebre nombrosos premis, inclòs el Premi Abel 2016.

Enunciats equivalents del teorema

Hi ha diverses maneres alternatives d'enunciar l'últim teorema de Fermat que són matemàticament equivalents a l'enunciat original del problema.

Per enunciar-los, fem servir les notacions següents: sigui $\mathbb {N}$ sigui el conjunt dels nombres naturals $1,2,3,\dots ,$ deixar $\mathbb {Z}$ sigui el conjunt d'enters $0,\pm 1,\pm 2,\dots ,$ i deixar $\mathbb {Q}$ sigui el conjunt de nombres racionals $a/b$, on $a$ i $b$ estan en $\mathbb {Z}$ amb $b\neq 0$ A continuació anomenarem una solució a $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ on un o més de $x$, $y$, o $z$ si zero és una solució trivial. Una solució on les tres són diferents de zero s'anomenarà solució no trivial.

A tall de comparació, es comença amb la formulació original.

• Declaració original. Amb $n,x,y,z\in \mathbb {N}$ (és a dir que $n,x,y,z$ són tots nombres enters positius) i $n>2$, l'equació $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ no té solucions.

La majoria de tractaments populars del tema ho plantegen d'aquesta manera. També s'afirma habitualment $\mathbb {Z}$:

• Afirmació equivalent 1: xⁿ + yⁿ = zⁿ, on $n\geq 3$, no té solucions no trivials $x,y,z\in \mathbb {Z}$.

L'equivalència és clara si n és parell. Si n és senar i els tres x, y, z són negatius, aleshores podem substituir x, y, z per −x, −y, −z per obtenir una solució a N Si dos d'ells són negatius, ha de ser x i z o y i z. Si x, z són negatius i y és positiu, aleshores podem reorganitzar per obtenir (−z)ⁿ + yⁿ = (−x)ⁿ donant lloc a una solució a N; l'altre cas es tracta de manera anàloga. Ara, si només un és negatiu, ha de ser x o y. Si x és negatiu i y i z són positius, aleshores es pot reorganitzar per obtenir (−x)ⁿ + zⁿ = yⁿ donant lloc a una solució a N; si y és negatiu, el resultat es segueix simètricament. Així, en tots els casos, una solució no trivial a Z també significaria que existeix una solució a N, la formulació original del problema.

• Afirmació equivalent 2: xⁿ + yⁿ = zⁿ, on l'enter n ≥ 3, no té solucions no trivials x, y, z ∈ Q.

Això és degut al fet que els exponents de x, y, i z són iguals (a n), de manera que si hi ha una solució a Q, es pot multiplicar per un denominador comú adequat per obtenir una solució a Z, per tant, a N

• Afirmació equivalent 3: xⁿ + yⁿ = 1, on l'enter n ≥ 3, no té solucions no trivials x, y ∈ Q

Una solució no trivial a, b, {{Mvar°C ∈ Z fins a xⁿ + yⁿ = zⁿ dóna la solució no trivial a/c, b/c ∈ Q per vⁿ + wⁿ = 1 Per contra, una solució a/b, c/d ∈ Q fins a vⁿ + wⁿ = 1 dóna la solució no trivial ad, cb, bd per a xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Aquesta última formulació és particularment fructífera, perquè redueix el problema de ser un problema sobre superfícies en tres dimensions a un problema sobre corbes en dues dimensions. A més, permet treballar sobre el camp Q, en lloc de sobre l'anell Z; els camps presenten més estructura que els anells, cosa que permet una anàlisi més profunda dels seus elements.

• Afirmació equivalent 4: connexió amb corbes el·líptiques: Si a, b, {{Mvar°C és una solució no trivial per a^p + b^p = c^p, p nombre primer senar, aleshores y² = x(x − a^p)(x + b^p) (corba de Frey) serà una corba el·líptica sense forma modular.

Si examinem aquesta corba el·líptica amb el teorema de Ribet, es mostra que no té una forma modular. Tanmateix, la demostració d'Andrew Wiles demostra que qualsevol equació de la forma y² = x(x − aⁿ)(x + bⁿ) sí que té una forma modular. Qualsevol solució no trivial a x^p + y^p = z^p (amb p un nombre primer senar) crearia, per tant, una contradicció, que al seu torn demostra que no existeixen solucions no trivials.

En altres paraules, qualsevol solució que pogués contradir l'últim teorema de Fermat també es podria utilitzar per contradir el teorema de la modularitat. Per tant, si es descobrís que el teorema de la modularitat era cert, aleshores es deduiria que tampoc no podria existir cap contradicció amb l'últim teorema de Fermat. Com s'ha descrit anteriorment, el descobriment d'aquesta afirmació equivalent va ser crucial per a la solució final de l'últim teorema de Fermat, ja que proporcionava un mitjà pel qual es podia "atacar" per a tots els nombres alhora.

Bibliografia

• Bell, Eric T. The Mathematical Association of America. The Last Problem, 1961. ISBN 978-0-88385-451-8. 
• Benson, Donald C. Oxford University Press. The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, 2001. ISBN 978-0-19-513919-8. 
• Brudner, Harvey J. WLC, Inc. Fermat and the Missing Numbers, 1994. ISBN 978-0-9644785-0-3. 
• Faltings, Gerd «The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles». Notices of the American Mathematical Society, 42, 7-1995, p. 743–746. ISSN: 0002-9920.
• Mozzochi, Charles. American Mathematical Society. The Fermat Diary. ISBN 978-0-8218-2670-6. 
• Ribenboim P. Springer Verlag. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, 1979. ISBN 978-0-387-90432-0. 
• Saikia, Manjil P «A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes». IISER Mohali (India) Summer Project Report, 7-2011. Arxivat de l'original el 22 Setembre 2015. arXiv: 1307.3459. Bibcode: 2013arXiv1307.3459S [Consulta: 9 març 2014].
• Stevens, Glenn. Springer. Modular Forms and Fermat's Last Theorem, 1997, p. 1–16. ISBN 0-387-94609-8. 
• van der Poorten, Alf. WileyBlackwell. Notes on Fermat's Last Theorem. ISBN 978-0-471-06261-5. 

Enllaços externs

• Wiles, A. "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem Arxivat 2011-05-10 a Wayback Machine.Ann. Math. 141, 443-551, 1995. L'article original de Wiles. (anglès)
• Singh, S. Fermat's Enigma (Anchor Books, Nova York 1998). Traducció catalana: L'enigma de Fermat. Una bona explicació divulgativa del teorema de Fermat i de diversos temes de teoria de nombres.
• Fermat's Last Theorem. Bloc dedicat a presentar de forma entenedora i divulgativa qüestions relacionades amb el teorema. (anglès)