Arc (geometria)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Ombrejat en verd, un sector circular de longitud L al llarg del perímetre del cercle

En geometria euclidiana, un arc és un segment tancat d'una corba en un pla bidimensional; per exemple, un arc circular és un segment de la circumferència d'un cercle. Si el segment d'arc ocupa un cercle màxim o una el·lipse màxima, es considera un segment d'arc màxim.

Tot parell de punts diferents sobre una circumferència determina dos arcs. Si els dos punts no són l'un oposat de l'altre, llavors un d'aquests arcs, l'arc menor, conté un angle menor de π radians (180 graus), i l'altre arc, l'arc major, conté un angle superior a π radians.

Arcs circulars[modifica | modifica el codi]

Longitud d'un arc de circumferència[modifica | modifica el codi]

La longitud d'un arc d'un cercle amb radi i angle (mesurat en radiants) respecte al centre del cercle és igual a . Això és perquè

Si se substitueix "circumferència":

i s'aïlla la longitud de l'arc, , s'obté

Per a un angle mesurat en graus, la mida en radiants ve donada per

i per tant la longitud de l'arc és

Una manera pràctica de determinar la longitud d'un arc en una circumferència és dibuixar dues línies des dels extrems de l'arc fins al centre de la circumferència, mesurar l'angle que formen els dos segments que es troben al centre, i després resoldre per L la següent fórmula:

mesura de l'angle en graus/360° = L/Circumferència.

Per exemple, si la mesura de l'angle és de 60 graus, i la circumferència és de 24 cm, llavors

.

Això és cert perquè la circumferència d'un cercle i els graus d'una circumferència, que sempre són 360, són directament proporcionals.

Àrea d'un sector d'arc[modifica | modifica el codi]

L'àrea del sector formar per un arc i el centre d'un cercle (delimitat per l'arc i els dos radis dibuixats als extrems de l'arc) és:

L'àrea té la mateixa proporció respecte al cercle que l'angle té respecte a tot el cercle:

Podem cancel·lar a ambdós costats:

Si multipliquem a ambdós costats per , obtenim el resultat final:

Emprant la conversió anterior, trobem que l'àrea del sector per a un angle central mesurant en graus és:

Àrea d'un segment d'arc[modifica | modifica el codi]

L'àrea de la figura delimitada per l'arc i el segment que uneix els seus dos extrems és:

Per obtenir l'àrea del segment circular, hem de restar l'àrea del triangle, determinada pel centre del cercle i els dos extrems de l'arc, de l'àrea .

Radi d'un arc[modifica | modifica el codi]

Emprant el teorema de les cordes intersecants (també conegut com la potència d'un punt), és possible calcular el radi d'una circumferència, donada l'altura i l'amplada d'un arc:

Considerem la corda amb els mateixos extrems que l'arc. La seva mediatriu és una altra recta, que passa pel centre de la circumferència, i considerem-ne l'interval contingut a dins; així obtenim un diàmetre. La longitud de la primera corda és i està dividida per la mediatriu en dues meitats iguals, cadascuna amb longitud La longitud total del diàmetre és i està dividit en dues parts iguals per la primera corda. La longitud d'una part és l'altura de l'arc, i l'altra part és la resta del diàmetre, amb longitud Aplicant el teorema de les cordes intersecants a aquestes dues cordes, obtenim:

d'on

i per tant:

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Arc (geometria) Modifica l'enllaç a Wikidata