Arrel quadrada de 3

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Infotaula nombreArrel quadrada de 3
30-60-90.svg
Un triangle equilàter de costat 2 té una altura igual a l'arrel de 3
Tipus constant matemàtica, nombre irracional i arrel quadrada
Propietats
Valor 1,7320508075689
Altres numeracions
Binari 1.1011101101100111101...
Hexadecimal 1.BB67AE8584CAA73B....
Fórmules
Expressió algebraica
Fració contínua
  
Modifica les dades a Wikidata

L'arrel quadrada de 3 és l'únic nombre positiu que multiplicat per si mateix dóna 3. Es denota com . El seu valor numèric amb deu xifres decimals és:

[1]

L'arrel quadrada de 3 és un nombre irracional. També es coneix com la constant de Teodor, en honor al filòsof grec Teodor de Cirene.

Geometria[modifica]

L'arrel quadrada de tres és igual a la longitud entre dos costats paral·lels d'un hexàgon de costat la unitat.
Square root of 3 in cube.svg

Si es té un triangle equilàter de costat la unitat, i es traça una bisectriu qualsevol, s'obtenen dos triangles que tenen com a hipotenusa 1, i els catets de 1/2 i √3/2 respectivament. D'aquí es té que la tangent de l'angle de 60º (o π/3) sigui igual a l'arrel de 3.

Aquesta és també la distància entre els dos costats paral·lels d'un hexàgon regular de costat la unitat, com es mostra en el dibuix.

L'arrel de 3 també és igual a la diagonal interior d'un cub els costats del qual tinguin com a mesura la unitat. Això pot ser demostrat mitjançant el teorema de Pitàgores de la següent manera:

Com que els costats d'una de les bases del cub també formen triangles rectangles, llavors podem obtenir la mesura de la diagonal de la cara mitjançant el teorema de Pitàgores:

;

Ara considerarem el triangle que té com a catets la diagonal de la cara i una aresta del cub. La hipotenusa d'aquest triangle rectangle serà la diagonal interna del cub. El seu valor també el podrem conèixer mitjançant el teorema de Pitàgores.

;

Quedant, doncs, demostrat que la diagonal interior d'un cub que té la unitat com a mesura de l'aresta, és igual a l'arrel quadrada de 3.

Trigonometria[modifica]

De manera natural sorgeix l'arrel quadrada de 3 en el sinus de l'angle de 60º; i complementàriament en el cosinus de 30º. També usant la circumferència goniomètrica apareix l'arrel quadrada de 3 en definir el sinus i el cosinus de 120º i 240º. A més, en el pla complex les arrels cúbiques complexes d'1 també comporten l'arrel de 3.

Irracionalitat[modifica]

La irracionalitat de l'arrel quadrada de 3 es pot demostrar mitjançant un argument semblant al que s'utilitza per demostrar la irracionalitat de l'arrel quadrada de dos. Es fonamenta en la reducció a l'absurd.

Es parteix de la hipòtesi que l'arrel de 3 és un nombre racional, i que per tant es compleix que:

essent p i q nombres primers entre ells. Llavors, si p2 és múltiple de 3, també p ho ha de ser, per tant:

i per tant, es té que també q és múltiple de 3, fet que contradiu la premissa principal segons la qual p i q eren primers entre ells.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. (successió A002194 a l'OEIS)

Enllaços externs[modifica]