Atles (topologia)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un atles és un conjunt de cartes (entorns de coordenades) que proveeixen d'estructura localment euclidiana a un espai topològic.

Cada carta cobreix un entorn de l'espai donant coordenades als punts dins d'aquest entorn. Un atles és un conjunt de cartes que, a més de cobrir l'espai del tot, en cas de superposició entre dues cartes, les coordenades proveïdes per una i altra estan relacionades simplement per una funció vectorial amb "bones propietats" (és un homeomorfisme fins i tot un difeomorfisme).

Els atles són l'eina que permet donar estructura diferenciable als espais topològics, i el substrat per a les nocions de la geometria diferencial de varietats.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donat un espai topològic  X , una carta (o també entorn coordenat) és un parell  (O, \varphi) , on  U és un obert de  X , i  \varphi: U \to \mathbb R^n un homeomorfisme entre  U i l'espai euclidià  \mathbb R^n . Aquest homeomorfisme proveeix de coordenades als punts de l'entorn  U .

Un atles és un conjunt de cartes que cobreix la varietat al complet, i de tal manera que siguin compatibles entre si: si dues cartes donen coordenades diferents per a una regió de  X , llavors la funció "canvi de coordenades "ha de ser bijectiva i contínua en els dos sentits. És a dir:

Un atles és una família de cartes  \{(U_i, \varphi_i) \} amb  \ \cup_i U_i = X i tal que sempre que  O_{ij}\equiv U_i \cap U_j \neq \empty l ' funció de transició  \varphi_{ij}\equiv \varphi_i \varphi_j^{-1}: \varphi_j (O_{ij}) \to \varphi_i (O_{ij}) és un homeomorfisme entre oberts de  \mathbb R^n .

Diferenciabilitat[modifica | modifica el codi]

La definició anterior és estrictament per a un atles de classe  \mathcal C^0 . Exigint que les funcions de transició  \phi_{ij} siguin difeomorfismes de classe  \mathcal C^k , obtindríem un atles de classe  \mathcal C^k (on  k és un enter positiu,  \infty , o fins i tot  \omega per atles analítics).

Compatibilitat. Estructura diferenciable.[modifica | modifica el codi]

La condició de compatibilitat entre cartes ens permet definir si dos atles de classe  \mathcal C^k són al seu torn compatibles : ho són si la seva unió conjuntista és un atles al seu torn, és a dir, si poden "ajuntar" en un sol atles.

Dues atles compatibles però diferents donen coordenades a l'espai X de maneres essencialment equivalents. Per definir l'estructura de varietat (ja sigui topològica o diferenciable) sense ambigüitats, es recorre a una classe d'equivalència d'atles compatibles entre si. Una altra manera és fer servir un atles maximal , que conté qualsevol atles compatible amb ell. A aquests atles maximals se'ls denomina també estructures diferenciables (de classe  \mathcal C^k ).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Wald, Robert. General Relativity (en anglès). The University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2. 

Nota[modifica | modifica el codi]