Axioma d'Arquimedes

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Per a altres significats, vegeu «Principi d'Arquimedes».

L'axioma d'Arquimedes va ser enunciat per Arquimedes en la seva obra De l'esfera i el cilindre, encara que anteriorment va ser utilitzat per Èudox de Cnidos, per la qual cosa també es coneix com a axioma d'Èudox. Originalment va ser enunciat amb segments, és a dir, donats dos segments A i B, on A de longitud menor que B, sempre és possible obtenir un segment més gran que B, traçant A un nombre suficient de vegades. Això que es fa amb longituds, s'estén al cas d'àrees, volums, magnituds i nombres positius. En ell es basa l'algorisme d'Euclides de la divisió euclidiana.

Quan en una estructura algebraica es compleix l'axioma d'Arquímedes, es diu que aquesta estructura és arquimediana o que té la propietat arquimediana.

  • (, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℕ+) (∀y∈ℕ) (∃n∈ℕ+) (y<nx).
  • (, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℤ+) (∀y∈ℤ) (∃n∈ℕ+ ) (y<nx).
  • El cos ordenat i commutatiu (, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℚ+) (∀y∈ℚ) (∃n∈ℕ+) (y<nx).
  • El cos ordenat, commutatiu i complet (, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℝ+) (∀y∈ℝ) (∃n∈ℕ+) (y<nx).

Com a exemple, demostrem això últim. En efecte, raonem per reducció a l'absurd. Suposem que (∃x∈ℝ+) (∃y∈ℝ) (∀n∈ℕ+) (ynx), és a dir, el conjunt A ={x, 2x, 3x, ...} està fitat superiorment (per y). A causa de l'axioma del suprem, aquest conjunt té suprem s. Com que x>0, s-x < s, i per tant s-x ∉ CS (A), així que hi ha un element de A, a la dreta de s-x, és a dir, (∃n0 ∈ ℕ+) (s-x < n0x). D'aquí, s < (n0+1)⋅x, i com (n0+1)⋅xA, es té que s no és el suprem de A (ni tan sols seria fita superior de A), en contra que sí que ho és.

Exercici resolt
  1. És cert que (∀x∈ℝ+) (∃n∈ℤ+) (7/(7n+1) <x)?
    Això és equivalent a «(∀x∈ℝ+) (∃n∈ℤ+) (7 <(7n+1) x)». La propietat arquimediana, si y = 7, assegura (∀x∈ℝ+) (∃n∈ℤ+) (7<nx), com x>0, nx < (7n+1)⋅x, obtenint el resultat requerit.

Font[modifica]

Aquest article correspon a una entrada del web EpistemoWiki, publicat en domini públic o bé, sota la Llicència de documentació lliure Compartir-Igual 3.0.

Enllaços externs[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Axioma d'Arquimedes

Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8. 

Referències[modifica]