Axioma de l'infinit

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

En teoria de conjunts, l'axioma de l'infinit és un axioma que garanteix l'existència d'un conjunt amb un nombre infinit d'elements.

Enunciat[modifica]

L'axioma de l'infinit assegura l'existència d'un conjunt infinit en el sentit de Dedekind: un conjunt que pot posar-se en correspondència bijectiva amb un subconjunt propi de si mateix. L'enunciat més habitual es basa en la propietat equivalent del conjunt inductiu:

És a dir, es postula l'existència d'un conjunt inductiu, és a dir que conté el conjunt buit, i el successor x {x} de cada un dels seus elements  x. D'aquesta manera s'assegura l'existència d'un conjunt que conté els nombres naturals en la construcció conjuntista habitual:

Independència[modifica]

L'axioma de l'infinit (AI) no es pot demostrar a partir de la resta d'axiomes de la teoria de Zermelo-Fraenkel (ZF), si aquests són consistents.[1] Es pot demostrar que tots ells són certs en restringir-e a un "univers" de conjunts finits escollits amb compte (els conjunts hereditàriament finits). És a dir, els axiomes de ZF —inclòs l'AI— demostren l'existència d'un model per a ZF−AI+¬AI —ZF substituint AI per la seva negació—. Per tant, una demostració de AI a partir de ZF−AI donaria lloc a una demostració de la consistència de ZF-AI, en contradicció amb el segon teorema d'incompletesa de Gödel. La situació és idèntica en la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel.

Referències[modifica]

  1. El raonament no necessita l'axioma de l'elección, i la conclusió l'inclou: en el model dels conjunts hereditàriament finits, es compleix aquest axioma.
  • Ivorra, Carlos. Lógica y teoría de conjuntos, 18 d'octubre de 2010. 
  • Kunen, Kenneth. «IV. Easy consistency proofs». A: Set Theory: an introduction to independence proofs. Elsevier Science, 1980. 
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Axioma de l'infinit