Axiomes de probabilitat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat ). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor a Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat sempre es defineix sobre un espai mesurable és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat és una aplicació de en


Primer axioma[modifica | modifica el codi]

Per a tot esdeveniment :

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Segon axioma[modifica | modifica el codi]

Si designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tercer axioma[modifica | modifica el codi]

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), satisfà:

.

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

Conseqüències[modifica | modifica el codi]

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:


  • Si , són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors
  • De forma més general, si és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors


  • ;

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència . Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de i de

  • En particular, si , llavors

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on , la propietat precedent s'escriu

on el primer terme és clarament positiu o zero.
  • En el cas particular on això dóna que, per a tot esdeveniment ,

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

  • Per a tots els esdeveniments ,

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments o es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que es realitzi, i perquè es realitzi, menys la probabilitat que i es realitzin de manera simultània. També,

que dóna la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.

Límits creixents i decreixents[modifica | modifica el codi]

  • Tota successió creixent d'esdeveniments satisfà:

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.


  • Tota successió decreixent d'esdeveniments satisfà:

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Formulació a partir de la teoria de la mesura[modifica | modifica el codi]

Article principal: Teoria de la mesura

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, , té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.