Axiomes de probabilitat

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) $\ \mathbb {P}$$\ \mathbb {P}$ és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat $\ \mathbb {P} (A)$$\ \mathbb {P} (A)$). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor a Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat $\ \mathbb {P}$$\ \mathbb {P}$ sempre es defineix sobre un espai mesurable $\left(\Omega ,{\mathcal {A}}\right),$$\left(\Omega ,{\mathcal {A}}\right),$ és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat $\ \mathbb {P}$$\ \mathbb {P}$ és una aplicació de ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ en $\mathbb {R} .$$\mathbb {R} .$

Primer axioma

Per a tot esdeveniment $\ A$$\ A$:

$0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1.$$0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1.$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Segon axioma

Si $\ \Omega$$\ \Omega$ designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

$\ \mathbb {P} (\Omega )=1$$\ \mathbb {P} (\Omega )=1$,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tercer axioma

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), $A_{1},\,A_{2},\dots$$A_{1},\,A_{2},\dots$ satisfà:

$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\infty }\mathbb {P} (A_{i})$$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\infty }\mathbb {P} (A_{i})$.

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

Conseqüències

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:

• $\mathbb {P} (\emptyset )=0.$$\mathbb {P} (\emptyset )=0.$

demostració

Fent servir el 3r axioma amb $\scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \$$\scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \$ per a tot $\scriptstyle \ k.\$$\scriptstyle \ k.\$ s'obté $\mathbb {P} (\emptyset )=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (\emptyset ),$$\mathbb {P} (\emptyset )=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (\emptyset ),$ relació que no es pot satisfer si $\scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )\in ]0,1],\$$\scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )\in ]0,1],\$ ja que llavors el terme de dreta val $\scriptstyle \ +\infty .\$$\scriptstyle \ +\infty .\$ >Per tant no hi ha altra opció que $\scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )=0,\$$\scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )=0,\$.

 

• Si $\ A$$\ A$, $\ B$$\ B$ són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors

$\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).$$\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).$

• De forma més general, si $\ (A_{k})_{1\leq k\leq n}$$\ (A_{k})_{1\leq k\leq n}$ és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).$$\mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).$

Demostració

Fent servir el 3r axioma amb $\scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \$$\scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \$ per a tot $\scriptstyle \ k\geq n+1.\$$\scriptstyle \ k\geq n+1.\$ s'obté una successió d'esdeveniments incompatibles 2 a 2 tals que $\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}=\bigcup _{k\geq 1}A_{k},$$\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}=\bigcup _{k\geq 1}A_{k},$

per tant

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right),$$\mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right),$

però en virtut del tercer axioma

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} \left(A_{k}\right)$$\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} \left(A_{k}\right)$ i finalment, ja que per a tot $\scriptstyle \ k\geq n+1,\$$\scriptstyle \ k\geq n+1,\$ $\mathbb {P} \left(A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\emptyset \right)=0,\$$\mathbb {P} \left(A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\emptyset \right)=0,\$ s'obté el resultat desitjat.

 

• $\mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$$\mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$;

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència $\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$$\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$. Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de $B\setminus A$$B\setminus A$ i de $A\cap B.$$A\cap B.$

• En particular, si $A\subset B$$A\subset B$, llavors

$\mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)$$\mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)$

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on $A\subset B$$A\subset B$, la propietat precedent s'escriu

$\mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A),\$$\mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A),\$ on el primer terme és clarament positiu o zero.

• En el cas particular on $B=\Omega ,$$B=\Omega ,$ això dóna que, per a tot esdeveniment $\ A$$\ A$,

$\mathbb {P} (\Omega \setminus A)=1-\mathbb {P} (A)$$\mathbb {P} (\Omega \setminus A)=1-\mathbb {P} (A)$

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

• Per a tots els esdeveniments $\ A$$\ A$, $\ B$$\ B$

$\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B).$$\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B).$

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments $A$$A$ o $B$$B$ es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que $\ A$$\ A$ es realitzi, i perquè $\ B$$\ B$ es realitzi, menys la probabilitat que $\ A$$\ A$ i $\ B$$\ B$ es realitzin de manera simultània. També,

$\mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).$$\mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).$

• Aquestes dues últimes fórmules són casos particulars (n=2,3) del principi d'inclusió-exclusió

$\mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),$$\mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),$

que dóna la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.

Límits creixents i decreixents

• Tota successió creixent d'esdeveniments $A_{1}\,\subset \,A_{2}\,\subset \,A_{3}\,\subset \,\dots$$A_{1}\,\subset \,A_{2}\,\subset \,A_{3}\,\subset \,\dots$ satisfà:

$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).$$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Demostració

Es posa $B_{1}=A_{1}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 2,\ B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}.$$B_{1}=A_{1}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 2,\ B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}.$

Llavors els $B_{i}$$B_{i}$ són disjunts i verifiquen

$\bigcup _{n\geq 1}B_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=A_{n}.$$\bigcup _{n\geq 1}B_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=A_{n}.$

Les propietats de σ-additivitat i d'additivitat, respectivament, comporten llavors que

$\sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})=\mathbb {P} (A_{n}).$$\sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})=\mathbb {P} (A_{n}).$ Llavors $\scriptstyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})$$\scriptstyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})$ no és més que la definició de la suma d'una sèrie com a límit de les seves sumes parcials.

 

• Tota successió decreixent d'esdeveniments $A_{1}\,\supset \,A_{2}\,\supset \,A_{3}\,\supset \,\dots$$A_{1}\,\supset \,A_{2}\,\supset \,A_{3}\,\supset \,\dots$ satisfà:

$\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).$$\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Formulació a partir de la teoria de la mesura

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$$(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, $\mathbb {P}$${\mathbb {P}}$, té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

$\mathbb {P} (\Omega )=1.$$\mathbb {P} (\Omega )=1.$

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.