Teorema de Borsuk-Ulam

En matemàtiques, el teorema Borsuk-Ulam afirma que qualsevol funció contínua d'una n-esfera a l'espai euclidià de dimensió n fa correspondre algun parell de punts antipodals al mateix punt.

(Dos punts en una esfera s'anomenen antipodals si són exactament en direccions oposades des del centre de l'esfera.)

El cas n = 2 sovint s'il·lustra dient que a qualsevol moment que hi ha sempre un parell de punts antipodals a la superfície de la Terra amb temperatures iguals i pressions baromètriques iguals. Això suposa que la temperatura i la pressió baromètrica varien contínuament.

Stanisław Ulam va ser el primer a conjecturar el teorema i va ser demostrat per Karol Borsuk el 1933.

Hi ha una demostració elemental que el teorema de Borsuk-Ulam implica el Teorema del punt fix de Brouwer.

Una afirmació més forta relativa al teorema Borsuk-Ulam és que totes les funcions que preserven les antípodes

$f:S^{n}\to S^{n}$

tenen grau senar.

Corol·laris

• Cap subconjunt de ℝⁿ és homeomorf a Sⁿ.
• El Teorema de Lusternik-Schnirelmann: Si l'esfera Sⁿ és recoberta per n+1 conjunts oberts, llavors un d'aquests conjunts conté un parell (x, −x) de punts antipodals. (això és equivalent al teorema de Borsuk-Ulam)
• El Teorema de sandvitx de pernil: Per a qualssevol conjunts compactes $A_{1},\ldots ,A_{n}$ en ℝⁿ sempre es pot trobar un hiperplà que divideix cadascun d'ells en dos subconjunts de mesura igual.

Bibliografia

• Borsuk, Karol «Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre» (en alemany). Fundamenta Mathematicae, 20, 1933, p. 177-190.
• Matoušek, Jiří. Using the Borsuk–Ulam theorem (en anglès). Berlín: Springer-Verlag, 2003. ISBN 3-540-00362-2. 
• Lyusternik, L.; Shnirel'man, S. «Topological Methods in Variational Problems» (en anglès). Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U. [Moscow], 1930.
• Hatcher, Allen. Algebraic Topology.