Cònica

Les còniques són de tres tipus: paràboles (1); el·lipses, incloent-hi circumferències (2); i hipèrboles (3).

Tipus de seccions còniques

Una secció cònica, corba cònica o quadràtica és una corba obtinguda com la intersecció de la superfície d'un con amb un pla. Els tres tipus de secció cònica són la hipèrbola, la paràbola i l'el·lipse; el cercle és un cas especial de l'el·lipse, tot i que de vegades es considerava un quart tipus. Els matemàtics grecs antics van estudiar les seccions còniques, culminant al voltant del 200 aC amb el treball sistemàtic d'Apol·loni de Perge sobre les seves propietats.

Les seccions còniques del pla euclidià tenen diverses propietats distintives, moltes de les quals es poden utilitzar com a definicions alternatives. Una d'aquestes propietats defineix una cònica no circular com el conjunt d'aquells punts les distàncies dels quals a un punt concret, anomenat focus, i a una recta concreta, anomenada directriu, estan en una relació fixa, anomenada excentricitat . El tipus de cònica està determinat pel valor de l'excentricitat. En geometria analítica, una cònica es pot definir com una corba algebraica plana de grau 2; és a dir, com el conjunt de punts les coordenades dels quals satisfan una equació quadràtica en dues variables que es pot escriure de la forma $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.$ Les propietats geomètriques de la cònica es poden deduir de la seva equació.

En el pla euclidià, els tres tipus de seccions còniques semblen força diferents, però comparteixen moltes propietats. En estendre el pla euclidià per incloure una recta a l'infinit, obtenint un pla projectiu, la diferència aparent s'esvaeix: les branques d'una hipèrbola es troben en dos punts a l'infinit, convertint-la en una única corba tancada; i els dos extrems d'una paràbola es troben per convertir-la en una corba tancada tangent a la recta a l'infinit. Una extensió addicional, expandint les coordenades reals per admetre coordenades complexes, proporciona els mitjans per veure aquesta unificació algebraicament.

Etimologia

La primera definició coneguda de secció cònica sorgeix en l'antiga Grècia, al voltant de l'any 340 a. C., (Menecme) quan van ser definides com seccions «d'un con circular recte». Els noms d'hipèrbola, paràbola i el·lipse es deuen a Apol·loni de Perge.

Actualment, les seccions còniques poder definir-se de diverses maneres; aquestes definicions provenen de les diverses branques de les matemàtiques com la geometria analítica, la geometria projectiva, etc.

Característiques

Paràmetres d'una el·lipse: 2a eix major; 2b eix menor; ℓ semilatus

Una secció cònica o cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:

$(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,$

en què A, B i C no són tots tres nuls.

Les seccions còniques són exactament aquelles corbes que, per a un punt F, una línia de L que no conté F i un nombre no negatiu e, són els llocs geomètrics dels punts la distància dels quals a F és igual a e vegades la seva distància a L. F s'anomena focus, L la directriu, i e l'excentricitat.

L'excentricitat lineal (c) és la distància entre el centre i el focus (o qualsevol dels dos focus).

El latus rectum (2ℓ) és la corda paral·lela a la directriu i que passa pel focus (o qualsevol dels dos focus).

El semilatus rectum (ℓ) és la meitat del latus rectum.

El paràmetre focal (p) és la distància des del focus (o qualsevol dels dos focus) a la directriu.

Es tenen les relacions següents:

• $pe=\ell$
• $ae=c$

Diversos paràmetres s'associen amb una secció cònica, com es mostra en la taula següent. (Per a l'el·lipse, la taula dona el cas d'a > b, per als quals l'eix major és horitzontal; per al cas invers, l'intercanvi dels símbols a i b. Per a la hipèrbola, l'oest a l'est. En tots els casos, a i b són positius.)

secció cònica	equació	excentricitat (e)	excentricitat lineal (c)	semilatus rectum (ℓ)	paràmetre focal (p)
Circumferència	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$a\,$	$\infty$
El·lipse	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
Paràbola	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	$a\,$	$2a\,$	$2a\,$
Hipèrbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Visió geomètrica

Tipus de seccions còniques

Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi d'origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:

• Si el pla no passa pel vèrtex del con, segons l'angle d'intersecció ens trobarem:
  • El·lipse: una corba tancada. Un cas particular d'el·lipse és una circumferència si el pla de l'el·lipse és perpendicular a l'eix del con, és a dir, paral·lel a la base.
  • Paràbola: una corba oberta.
  • Hipèrbola: dues corbes obertes.
• Si el pla passa pel vèrtex del con:
  • Un punt
  • Una recta
  • Dues rectes.

Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.

Forma canònica

L'anterior equació $(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,$ la podem escriure de la forma matricial $X^{\prime }MX=0\,$

En què: $X={\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}\,$

$M={\begin{pmatrix}A&C&D\\C&B&E\\D&E&F\end{pmatrix}}\,$

Segons la forma canònica que adopti la matriu $M\,$, trobem les diferents solucions que tenen les còniques ($a,b,m\,$ són valors reals, diferents de $0\,$):

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\,$	el·lipse imaginària
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,$	el·lipse real
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,$	dues rectes imaginàries no paral·leles
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,$	hipèrbola
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,$	dues rectes reals no paral·leles
$y=mx^{2}\,$	paràbola
$a^{2}x^{2}=-1\,$	dues rectes imaginàries paral·leles
$a^{2}x^{2}=1\,$	dues rectes reals paral·leles
$mx^{2}=0\,$	dues rectes coincidents
$x=0\,$	una recta real

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

Geometria euclidiana

Tipus de seccions còniques: 1: Cercle2:El·lipse 3: Paràbola 4: Hipèrbola

Les seccions còniques s'han estudiat durant milers d'anys i han proporcionat una rica font de resultats interessants i bells en geometria euclidiana.

Definició

Una cònica és la corba que s'obté com la intersecció d'un pla, anomenat pla de tall, amb la superfície d'un con doble (un con amb dues làmines ). Normalment se suposa que el con és un con circular recte per facilitar-ne la descripció, però això no és necessari; qualsevol con doble amb alguna secció transversal circular serà suficient. Els plans que passen pel vèrtex del con intersecten el con en un punt, una línia o un parell de línies que es creuen. Aquestes s'anomenen còniques degenerades i alguns autors no les consideren en absolut còniques. A menys que s'indiqui el contrari, "cònica" en aquest article es referirà a una cònica no degenerada.

Hi ha tres tipus de còniques: l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola. El cercle és un tipus especial d'el·lipse, tot i que històricament Apol·loni el considerava un quart tipus. Les el·lipses sorgeixen quan la intersecció del con i el pla és una corba tancada. El cercle s'obté quan el pla tallant és paral·lel al pla del cercle generador del con; per a un con recte, això significa que el pla tallant és perpendicular a l'eix. Si el pla tallant és paral·lel a exactament una línia generadora del con, aleshores la cònica no té límits i s'anomena paràbola . En el cas restant, la figura és una hipèrbola : el pla interseca les dues meitats del con, produint dues corbes no limitades separades.

Compareu també la secció esfèrica (intersecció d'un pla amb una esfera, que produeix un cercle o punt) i la cònica esfèrica (intersecció d'un con el·líptic amb una esfera concèntrica).

Seccions còniques d' excentricitat variable que comparteixen un punt focal i una línia directriu, incloent-hi una el·lipse (vermell, e = 1/2 ), una paràbola (verd, e = 1 ) i una hipèrbola (blau, e = 2 ). La cònica d'excentricitat 0 en aquesta figura és un cercle infinitesimal centrat en el focus, i la cònica d'excentricitat ∞ és un parell de línies infinitament separades.Plantilla:PbUn cercle de radi finit té una directriu infinitament distant, mentre que un parell de línies de separació finita tenen un focus infinitament distant.

Excentricitat, focus i directriu

Alternativament, es pot definir una secció cònica purament en termes de geometria plana: és el lloc geomètric de tots els punts P la distància dels quals a un punt fix F (anomenat focus ) és un múltiple constant e (anomenat excentricitat ) de la distància de P a una recta fixa L (anomenada directriu ). Per a 0 < e < 1 obtenim una el·lipse, per a e = 1 una paràbola i per a e > 1 una hipèrbola.

Un cercle és un cas límit i no està definit per un focus i una directriu en el pla euclidià. L'excentricitat d'un cercle es defineix com a zero i el seu focus és el centre del cercle, però la seva directriu només es pot prendre com la recta a l'infinit en el pla projectiu.

L'excentricitat d'una el·lipse es pot veure com una mesura de quant es desvia l'el·lipse de ser circular.

Si l'angle entre la superfície del con i el seu eix és $\beta$ i l'angle entre el pla de tall i l'eix és $\alpha ,$ l'excentricitat és ${\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.$

L'ús d'esferes de Dandelin facilita la demostració que les corbes anteriors definides per la propietat focus-directora són les mateixes que les obtingudes pels plans que intersecten un con.

Alternativament, una el·lipse es pot definir en termes de dos punts focals, com el lloc geomètric dels punts per als quals la suma de les distàncies als dos focus és 2a ; mentre que una hipèrbola és el lloc geomètric per al qual la diferència de distàncies és 2a . (Aquí a és el semieix major definit a continuació.) Una paràbola també es pot definir en termes del seu focus i la línia del latus rectum (paral·lela a la directriu i que passa pel focus): és el lloc geomètric dels punts la distància dels quals al focus més o menys la distància a la línia és igual a 2a ; més si el punt es troba entre la directriu i el latus rectum, menys en cas contrari.

Paràmetres cònics en el cas d'una el·lipse

Paràmetres cònics

A més de l'excentricitat (e), els focus i la directriu, diverses característiques geomètriques i longituds s'associen amb una secció cònica.

L'eix principal és la línia que uneix els focus d'una el·lipse o hipèrbola, i el seu punt mig és el centre de la corba. Una paràbola no té centre.

L'excentricitat lineal (c) és la distància entre el centre i un focus.

El latus rectum és la corda paral·lela a la directriu i que passa per un focus; la seva meitat de la longitud és el semi-latus rectum (ℓ).

El paràmetre focal (p) és la distància des d'un focus fins a la directriu corresponent.

L'eix major és la corda entre els dos vèrtexs: la corda més llarga d'una el·lipse, la corda més curta entre les branques d'una hipèrbola. La seva semilongitud és el semieix major (a). Quan una el·lipse o hipèrbola es troba en posició estàndard com a les equacions següents, amb focus a l'eix x i centre a l'origen, els vèrtexs de la cònica tenen coordenades (−a, 0) i (a, 0), amb a valor no negatiu.

L'eix menor és el diàmetre més curt d'una el·lipse, i la seva meitat de la longitud és el semieix menor (b), el mateix valor b que a l'equació estàndard següent. Per analogia, per a una hipèrbola el paràmetre b de l'equació estàndard també s'anomena semieix menor.

Es compleixen les relacions següents:

• $\ \ell =pe$
• $\ c=ae$
• $\ p+c={\frac {a}{e}}$

Per a còniques en posició estàndard, aquests paràmetres tenen els valors següents, prenent $a,b>0$.

secció cònica	equació	excentricitat (e)	excentricitat lineal (c)	semilat recte (ℓ)	paràmetre focal (p)
cercle	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$a\,$	$\infty$
el·lipse	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
paràbola	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	N/A	$2a\,$	$2a\,$
hiperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Formes estàndard en coordenades cartesianes

Formes estàndard d'una el·lipse

Després d'introduir les coordenades cartesianes, la propietat focus-directora es pot utilitzar per produir les equacions que satisfan els punts de la secció cònica. Mitjançant un canvi de coordenades (rotació i translació d'eixos), aquestes equacions es poden posar en formes estàndard. Per a el·lipses i hipèrboles, una forma estàndard té l'eix x com a eix principal i l'origen (0,0) com a centre. Els vèrtexs són (±a, 0) i els focus (±c, 0) . Definiu b mitjançant les equacions c² = a² − b² a una el·lipse i c² = a² + b² a una hipèrbola. Per a un cercle, c = 0 de manera a² = b², amb radi r = a = b . Per a la paràbola, la forma estàndard té el focus a l'eix x en el punt (a, 0) i la directriu la recta amb equació x = −a. En forma estàndard, la paràbola sempre passarà per l'origen.

Per a una hipèrbola rectangular o equilàtera, és a dir, una hipèrbola les asímptotes de la qual són perpendiculars, hi ha una forma estàndard alternativa en què les asímptotes són els eixos de coordenades i la recta x = y és l'eix principal. Els focus tenen llavors coordenades (c, c) i (−c, −c).

Formes estàndard d'una paràbola

Formes estàndard d'una hipèrbola

• Cercle:

  $x^{2}+y^{2}=a^{2},$

• El·lipse:

  ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$ Paràbola:

  $y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,$

• Hipèrbola:

  ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

• Hipèrbola rectangular:

  $xy=c^{2}.$

Les quatre primeres d'aquestes formes són simètriques respecte a l'eix x i a l'eix y (per al cercle, l'el·lipse i la hipèrbola), o només respecte a l'eix x (per a la paràbola). La hipèrbola rectangular, però, és simètrica respecte a les rectes y = x i y = −x.

Aquestes formes estàndard es poden escriure paramètricament com:

• Cercle:

  $(a\cos \theta ,a\sin \theta ),$

• El·lipse :

  $(a\cos \theta ,b\sin \theta ),$

• Paràbola:

  $(at^{2},2at),$

• Hipèrbola:

  $(a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ or }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )$ ,

• Hipèrbola rectangular:

  $\left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ where }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.$

Forma cartesiana general

En el sistema de coordenades cartesianes, el gràfic d'una equació quadràtica en dues variables és sempre una secció cònica (encara que pot ser degenerada), i totes les seccions còniques sorgeixen d'aquesta manera. L'equació més general és de la forma

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,$

amb tots els coeficients nombres reals i A, B, C no tots zero.

Notació matricial

L'equació anterior es pot escriure en notació matricial com a $${\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.$$

L'equació general també es pot escriure com $${\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0.$$

Aquesta forma és una especialització de la forma homogènia utilitzada en el context més general de la geometria projectiva.

Discriminant

Les seccions còniques descrites per aquesta equació es poden classificar en termes del valor $B^{2}-4AC$, anomenat el discriminant de l'equació. Per tant, el discriminant és − 4Δ on Δ és el determinant de la matriu $\left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.$

Si la cònica no és degenerada, aleshores:

• si B² − 4AC < 0, l'equació representa una el·lipse;
  • si A = C i B = 0, l'equació representa una circumferència, que és un cas especial d'el·lipse;
• si B² − 4AC = 0, l'equació representa una paràbola;
• si B² − 4AC > 0, l'equació representa una hipèrbola;
  • si A + C = 0, l'equació representa una hipèrbola rectangular.

En la notació que s'utilitza aquí, A i B són coeficients polinòmics, a diferència d'algunes fonts que denoten els semieixos major i semimenor com a A i B

Invariants

El discriminant B² – 4AC de l'equació quadràtica de la secció cònica (o equivalentment el determinant AC – B²/4 del 2 × 2 matriu) i la quantitat A + C (la traça de la 2 × 2 matriu) són invariants sota rotacions i translacions arbitràries dels eixos de coordenades, com ho és el determinant de la 3 × Matriu 3 anterior. El terme constant F i la suma D² + E² invariants només sota rotació.

Excentricitat en termes de coeficients

Quan la secció cònica s'escriu algebraicament com a

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,$

L'excentricitat es pot escriure com a funció dels coeficients de l'equació quadràtica. Si 4AC = B² la cònica és una paràbola i la seva excentricitat és igual a 1 (sempre que no sigui degenerada). En cas contrari, suposant que l'equació representa una hipèrbola o una el·lipse no degenerada, l'excentricitat ve donada per

$e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},$

on η = 1 si el determinant del 3 × La matriu 3 anterior és negativa i η = −1 si aquest determinant és positiu.

També es pot demostrar que l'excentricitat és una solució positiva de l'equació

$\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,$

on de nou $\Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.$ Això té precisament una solució positiva —l'excentricitat— en el cas d'una paràbola o el·lipse, mentre que en el cas d'una hipèrbola té dues solucions positives, una de les quals és l'excentricitat.

Conversió a la forma canònica

En el cas d'una el·lipse o hipèrbola, l'equació

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

es pot convertir a forma canònica en variables transformades ${\tilde {x}},{\tilde {y}}$ com a

${\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,$

o equivalentment

${\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,$

on $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$ són els valors propis de la matriu $\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)$ — és a dir, les solucions de l'equació

$\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0$

— i $S$ és el determinant del 3 × 3 matriu anterior, i $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$ és de nou el determinant del 2 × Matriu 2. En el cas d'una el·lipse, els quadrats dels dos semieixos venen donats pels denominadors en la forma canònica.

Coordenades polars

Desenvolupament de la secció cònica a mesura que augmenta l'excentricitat e

En coordenades polars, una secció cònica amb un focus a l'origen i, si n'hi ha, l'altre a un valor negatiu (per a una el·lipse) o un valor positiu (per a una hipèrbola) a l'eix x, ve donada per l'equació

$r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},$

on e és l'excentricitat i l és el semilatet recte.

Com s'ha esmentat anteriorment, per a e = 0, el gràfic és una circumferència, per a 0 < e < 1 el gràfic és una el·lipse, per a e = 1 una paràbola i per a e > 1 una hipèrbola.

La forma polar de l'equació d'una cònica s'utilitza sovint en dinàmica; per exemple, per determinar les òrbites dels objectes que giren al voltant del Sol.

Propietats

De la mateixa manera que dos punts (distints) determinen una recta, cinc punts determinen una cònica. Formalment, donats cinc punts qualssevol del pla en posició lineal general, és a dir, que no hi ha tres colineals, hi ha una única cònica que els passa per ells, que serà no degenerada; això és cert tant en el pla euclidià com en la seva extensió, el pla projectiu real. De fet, donats cinc punts qualssevol hi ha una cònica que els passa per ells, però si tres dels punts són colineals, la cònica serà degenerada (reductible, perquè conté una recta) i pot no ser única; vegeu la discussió més detallada.

Quatre punts del pla en posició lineal general determinen una cònica única que passa pels tres primers punts i que té el quart punt com a centre. Per tant, conèixer el centre equival a conèixer dos punts de la cònica per tal de determinar la corba.

A més, una cònica està determinada per qualsevol combinació de k punts en la posició general per la qual passa i 5 – k rectes que són tangents a ella, per a 0 ≤ k ≤ 5.

Qualsevol punt del pla es troba sobre zero, una o dues rectes tangents d'una cònica. Un punt sobre només una recta tangent es troba sobre la cònica. Un punt sobre cap recta tangent es diu que és un punt interior (o punt intern) de la cònica, mentre que un punt sobre dues rectes tangents és un punt exterior (o punt extern).

Totes les seccions còniques comparteixen una propietat de reflexió que es pot expressar com: Tots els miralls en forma de secció cònica no degenerada reflecteixen la llum que prové o va cap a un focus, cap a l'altre focus o s'allunya d'aquest. En el cas de la paràbola, cal pensar que el segon focus està infinitament lluny, de manera que els raigs de llum que van cap al segon focus o en provenen són paral·lels.

El teorema de Pascal fa referència a la col·linealitat de tres punts que es construeixen a partir d'un conjunt de sis punts en qualsevol cònica no degenerada. El teorema també és vàlid per a còniques degenerades que consisteixen en dues rectes, però en aquest cas es coneix com a teorema de Pappus.

Les seccions còniques no degenerades són sempre "llises". Això és important per a moltes aplicacions, com ara l'aerodinàmica, on es requereix una superfície llisa per assegurar el flux laminar i evitar la turbulència.

Història

Menecme i obres primerenques

Es creu que la primera definició de secció cònica la va donar Menecme (mort el 320 aC) com a part de la seva solució del problema de Delos (Duplicació del cub). La seva obra no va sobreviure, ni tan sols els noms que va utilitzar per a aquestes corbes, i només es coneix a través de relats secundaris. La definició utilitzada en aquell moment difereix de la que s'utilitza habitualment avui dia. Els cons es construïen girant un triangle rectangle al voltant d'un dels seus catets, de manera que la hipotenusa genera la superfície del con (aquesta línia s'anomena generatriu). Es determinaven tres tipus de cons pels seus angles del vèrtex (mesurats pel doble de l'angle format per la hipotenusa i el catet que gira al voltant del triangle rectangle). La secció cònica es determinava llavors intersectant un d'aquests cons amb un pla dibuixat perpendicular a una generatriu. El tipus de cònica està determinat pel tipus de con, és a dir, per l'angle format al vèrtex del con: si l'angle és agut, la cònica és una el·lipse; si l'angle és recte, la cònica és una paràbola; i si l'angle és obtús, la cònica és una hipèrbola (però només una branca de la corba).

Es diu que Euclides (fl. 300 aC) va escriure quatre llibres sobre còniques, però aquests també es van perdre. Arquimedes (mort c. 212 aC) és conegut per haver estudiat les còniques, havent determinat l'àrea delimitada per una paràbola i una corda a la quadratura de la paràbola. El seu principal interès era la mesura d'àrees i volums de figures relacionades amb les còniques i part d'aquest treball sobreviu al seu llibre sobre els sòlids de revolució de les còniques, Sobre conoides i esferoides.

Apol·loni de Perge

Diagrama de les Còniques d'Apol·loni, en una traducció àrab del segle IX

El progrés més gran en l'estudi de les còniques pels antics grecs es deu a Apol·loni de Perge (mort c. 190 aC), les seccions còniques o còniques del qual, en vuit volums, van resumir i ampliar enormement els coneixements existents. L'estudi d'Apol·loni sobre les propietats d'aquestes corbes va permetre demostrar que qualsevol pla que talli un con doble fix (de dues puntes), independentment del seu angle, produirà una cònica segons la definició anterior, donant lloc a la definició que s'utilitza habitualment avui dia. Els cercles, no construïbles pel mètode anterior, també s'obtenen d'aquesta manera. Això pot explicar per què Apol·loni considerava els cercles un quart tipus de secció cònica, una distinció que ja no es fa. Apol·loni utilitzava els noms «el·lipse», «paràbola» i «hipèrbola» per a aquestes corbes, prenent prestat la terminologia de treballs pitagòrics anteriors sobre àrees.

Papos d'Alexandria (mort c. 350 dC) se li atribueix haver exposat la importància del concepte del focus d'una cònica i haver detallat el concepte relacionat de directriu, inclòs el cas de la paràbola (que no apareix a les obres conegudes d'Apol·loni).

Món islàmic

Taula de còniques, Cyclopaedia, 1728

L'obra d'Apol·loni va ser traduïda a l'àrab, i gran part de la seva obra només sobreviu a través de la versió àrab. Els matemàtics islàmics van trobar aplicacions de la teoria, sobretot el matemàtic i poeta persa Omar Khayyám, que va trobar un mètode geomètric per resoldre equacions cúbiques utilitzant seccions còniques.

Un segle abans de l'obra més famosa de Khayyam, Abu al-Jud va utilitzar còniques per resoldre equacions quàrtiques i cúbiques, tot i que la seva solució no tractava tots els casos.

Un instrument per dibuixar seccions còniques va ser descrit per primera vegada l'any 1000 dC per Al-Kuhi.

Europa

Johannes Kepler va ampliar la teoria de les còniques a través del "principi de continuïtat", un precursor del concepte de límits. Kepler va utilitzar per primera vegada el terme "focus" el 1604.

Girard Desargues i Blaise Pascal van desenvolupar una teoria de les còniques utilitzant una forma primerenca de geometria projectiva i això va ajudar a impulsar l'estudi d'aquest nou camp. En particular, Pascal va descobrir un teorema conegut com l'hexagrammum mysticum del qual es poden deduir moltes altres propietats de les còniques.

René Descartes i Pierre Fermat van aplicar la seva geometria analítica recentment descoberta a l'estudi de les còniques. Això va tenir l'efecte de reduir els problemes geomètrics de les còniques a problemes d'àlgebra. Tanmateix, va ser John Wallis, en el seu tractat de 1655 Tractatus de sectionibus conicis qui va definir per primera vegada les seccions còniques com a exemples d'equacions de segon grau. Escrit anteriorment, però publicat més tard, Elementa Curvarum Linearum de Jan de Witt comença amb la construcció cinemàtica de les còniques de Kepler i després desenvolupa les equacions algebraiques. Aquesta obra, que utilitza la metodologia de Fermat i la notació de Descartes, ha estat descrita com el primer llibre de text sobre el tema. De Witt va inventar el terme «directrix».

Aplicacions

El la forma de paraboloide dels arqueociats produeix seccions còniques en les cares de les roques

Les seccions còniques són important en astronomia: l'òrbita de dos objectes massius que interactuen segons la llei gravitacional universal de Newton són seccions còniques si el seu centre de massa es considera en repòs. Si estan units, traçaran tots dos el·lipses; si s'estan separant, seguiran tots dos paràboles o hipèrboles. Vegeu problema dels dos cossos.

Les propietats reflectives de les seccions còniques s'utilitzen en el disseny de projectors de recerca, telescopis ràdio i alguns telescopis òptics. Els projectors de recerca utilitzen un mirall parabòlic com a reflector, amb un bulb al focus; i s'utilitza una construcció similar en els micròfons parabòlics. El telescopi òptic Hershel de 4.2 metres a La Palma, a les Illes Canàries, utilitza un mirall primari parabòlic per reflectir la llum cap a un mirall hiperbòlic secundari, que la reflecteix a un focus darrere del primer mirall.

En el pla projectiu real

Les seccions còniques tenen algunes propietats molt similars en el pla euclidià i les raons d'això es tornen més clares quan les còniques es veuen des de la perspectiva d'una geometria més àmplia. El pla euclidià pot estar immers en el pla projectiu real i les còniques es poden considerar com a objectes en aquesta geometria projectiva. Una manera de fer-ho és introduir coordenades homogènies i definir una cònica com el conjunt de punts les coordenades dels quals satisfan una equació quadràtica irreductible en tres variables (o equivalentment, els zeros d'una forma quadràtica irreductible). Més tècnicament, el conjunt de punts que són zeros d'una forma quadràtica (en qualsevol nombre de variables) s'anomena quàdrica, i les quàdriques irreductibles en un espai projectiu bidimensional (és a dir, que tenen tres variables) s'anomenen tradicionalment còniques.

Les seccions còniques tenen algunes propietats molt similars en el pla euclidià i les raons d'això es tornen més clares quan les còniques es veuen des de la perspectiva d'una geometria més àmplia. El pla euclidià pot estar immers en el pla projectiu real i les còniques es poden considerar com a objectes en aquesta geometria projectiva. Una manera de fer-ho és introduir coordenades homogènies i definir una cònica com el conjunt de punts les coordenades dels quals satisfan una equació quadràtica irreductible en tres variables (o equivalentment, els zeros d'una forma quadràtica irreductible). Més tècnicament, el conjunt de punts que són zeros d'una forma quadràtica (en qualsevol nombre de variables) s'anomena quàdrica, i les quàdriques irreductibles en un espai projectiu bidimensional (és a dir, que tenen tres variables) s'anomenen tradicionalment còniques.

Intersecció a l'infinit

En un espai projectiu sobre qualsevol anell de divisió, però en particular sobre els nombres reals o complexos, totes les còniques no degenerades són equivalents, i per tant en geometria projectiva es parla d'"una cònica" sense especificar un tipus. És a dir, hi ha una transformació projectiva que assignarà qualsevol cònica no degenerada a qualsevol altra cònica no degenerada.

Els tres tipus de seccions còniques reapareixeran en el pla afí obtingut en triar una recta de l'espai projectiu com a recta a l'infinit. Els tres tipus es determinen llavors per com aquesta recta a l'infinit interseca la cònica a l'espai projectiu. A l'espai afí corresponent, s'obté una el·lipse si la cònica no interseca la recta a l'infinit, una paràbola si la cònica interseca la recta a l'infinit en un punt doble corresponent a l'eix, i una hipèrbola si la cònica interseca la recta a l'infinit en dos punts corresponents a les asímptotes.

Coordenades homogènies

En coordenades homogènies, una secció cònica es pot representar com:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.$

O en notació matricial

$\left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.$

Els 3 × La matriu 3 anterior s'anomena matriu de la secció cònica.

Alguns autors prefereixen escriure l'equació homogènia general com a

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,$

(o alguna variació d'això) de manera que la matriu de la secció cònica tingui la forma més simple,

$M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),$

però aquesta notació no s'utilitza en aquest article.

Si el determinant de la matriu de la secció cònica és zero, la secció cònica és degenerada.

Com que multiplicar els sis coeficients pel mateix escalar diferent de zero dona una equació amb el mateix conjunt de zeros, es poden considerar les còniques, representades per (A, B, C, D, E, F) com a punts de l'espai projectiu de cinc dimensions. $\mathbf {P} ^{5}.$

Definició projectiva d'un cercle

Els conceptes mètrics de la geometria euclidiana (conceptes relacionats amb la mesura de longituds i angles) no es poden estendre immediatament al pla projectiu real. S'han de redefinir (i generalitzar) en aquesta nova geometria. Això es pot fer per a plans projectius arbitraris, però per obtenir el pla projectiu real com a pla euclidià estès, s'han de fer algunes eleccions específiques.

Fixeu una recta arbitrària en un pla projectiu que s'anomenarà recta absoluta . Seleccioneu dos punts diferents de la recta absoluta i referiu-vos-hi com a punts absoluts . Es poden definir diversos conceptes mètrics amb referència a aquestes opcions. Per exemple, donada una recta que conté els punts A i B, el punt mig del segment de recta AB es defineix com el punt C, que és el conjugat harmònic projectiu del punt d'intersecció d'AB i la recta absoluta, respecte a A i B.

Una cònica en un pla projectiu que conté els dos punts absoluts s'anomena cercle. Com que cinc punts determinen una cònica, un cercle (que pot ser degenerat) es determina per tres punts. Per obtenir el pla euclidià ampliat, la recta absoluta es tria com la recta a l'infinit del pla euclidià i els punts absoluts són dos punts especials d'aquesta recta anomenats punts circulars a l'infinit. Les rectes que contenen dos punts amb coordenades reals no passen pels punts circulars a l'infinit, de manera que en el pla euclidià un cercle, sota aquesta definició, es determina per tres punts que no són col·lineals.

S'ha esmentat que les circumferències del pla euclidià no es poden definir per la propietat focus-directora. Tanmateix, si es considerés la recta a l'infinit com a directriu, aleshores, prenent l'excentricitat com a e = 0 una circumferència tindrà la propietat focus-directora, però encara no està definida per aquesta propietat. En aquesta situació, cal anar amb compte d'utilitzar correctament la definició d'excentricitat com la relació entre la distància d'un punt de la circumferència al focus (longitud d'un radi) i la distància d'aquest punt a la directriu (aquesta distància és infinita), que dona el valor límit de zero.

Definició de la generació de Steiner d'una secció cònica

Definició de cònica projectiva de Steiner

Jakob Steiner va proposar un mètode sintètic (sense coordenades) per definir les seccions còniques en un pla projectiu el 1867.

• Donats dos llapis $B(U),B(V)$ de línies en dos punts $U,V$ (totes les línies que contenen $U$ i $V$ resp.) i un mapatge projectiu però no perspectiu $\pi$ de $B(U)$ sobre $B(V)$ Aleshores, els punts d'intersecció de les rectes corresponents formen una secció cònica projectiva no degenerada.

Un mapatge en perspectiva $\pi$ d'un llapis $B(U)$ a un llapis $B(V)$ és una bijecció (correspondència 1-1) tal que les rectes corresponents es tallen en una recta fixa $a$, que s'anomena eix de la perspectiva $\pi$.

Una aplicació projectiva és una seqüència finita d'aplicacions en perspectiva.

Com que una aplicació projectiva en un pla projectiu sobre un camp (pla pappiano) es determina de manera única prescrivint les imatges de tres rectes, per a la generació de Steiner d'una secció cònica, a més de dos punts $U,V$ només s'han de donar les imatges de 3 rectes. Aquests 5 elements (2 punts, 3 rectes) determinen de manera única la secció cònica.

Còniques de línia

Pel Principi de Dualitat en un pla projectiu, el dual de cada punt és una recta, i el dual d'un lloc geomètric de punts (un conjunt de punts que satisfan alguna condició) s'anomena envoltant de rectes. Utilitzant la definició de Steiner d'una cònica (aquest lloc geomètric de punts ara s'anomenarà cònica de punt ) com la trobada dels raigs corresponents de dos segments relacionats, és fàcil dualitzar i obtenir l'envoltant corresponent que consisteix en les unions dels punts corresponents de dos rangs relacionats (punts d'una recta) sobre bases diferents (les rectes on es troben els punts). Aquesta envoltant s'anomena cònica recta (o cònica dual).

En el pla projectiu real, una cònica puntual té la propietat que cada recta la talla en dos punts (que poden coincidir o ser complexos) i qualsevol conjunt de punts amb aquesta propietat és una cònica puntual. D'això es dedueix dualment que una cònica puntual té dues de les seves rectes que passen per cada punt i qualsevol evolvent de rectes amb aquesta propietat és una cònica puntual. A cada punt d'una cònica puntual hi ha una única recta tangent, i dualment, a cada recta d'una cònica puntual hi ha un únic punt anomenat punt de contacte . Un teorema important estableix que les rectes tangents d'una cònica puntual formen una cònica puntual, i dualment, els punts de contacte d'una cònica puntual formen una cònica puntual.

La definició de Von Staudt

Karl Georg Christian von Staudt va definir una cònica com el conjunt de punts donat per tots els punts absoluts d'una polaritat que té punts absoluts. Von Staudt va introduir aquesta definició a Geometrie der Lage (1847) com a part del seu intent d'eliminar tots els conceptes mètrics de la geometria projectiva.

Una polaritat, π, d'un pla projectiu P és una bijecció involutiva entre els punts i les rectes de P que preserva la relació d'incidència. Així, una polaritat associa un punt Q amb una recta q per π(Q) = q i π(q) = Q Seguint Gergonne, q s'anomena la polar de Q i Q el pol de q. Un punt (o recta ) absolut d'una polaritat és aquell que és incident amb el seu polar (pol).

Una cònica de von Staudt en el pla projectiu real és equivalent a una cònica de Steiner.

Construccions

No es pot construir cap arc continu d'una cònica amb regle i compàs. Tanmateix, hi ha diverses construccions amb regle i compàs per a qualsevol nombre de punts individuals d'un arc.

Un d'ells es basa en el contrari del teorema de Pascal, és a dir, si els punts d'intersecció dels costats oposats d'un hexàgon són colineals, aleshores els sis vèrtexs es troben en una cònica. Concretament, donats cinc punts, A, B, C, D, E i una recta que passa per E, per exemple EG, es pot construir un punt F que es troba en aquesta recta i que està a la cònica determinada pels cinc punts. Sigui AB que talli DE a L, BC que talli EG a M i que CD que talli LM a N Aleshores AN que talli EG al punt F requerit. Variant la recta per E, es poden construir tants punts addicionals a la cònica com es desitgi.

Mètode del paral·lelogram per construir una el·lipse

Un altre mètode, basat en la construcció de Steiner i que és útil en aplicacions d'enginyeria, és el mètode del paral·lelogram, on es construeix una cònica punt per punt mitjançant la connexió de certs punts equidistants en una línia horitzontal i una línia vertical. Concretament, per construir l'el·lipse amb l'equació , primer construïu el rectangle ABCD amb els vèrtexs A(a, 0), B(a, 2b), C(−a, 2b) i D(−a, 0). Dividiu el costat BC en n segments iguals i utilitzeu una projecció paral·lela, respecte a la diagonal AC, per formar segments iguals al costat AB (les longituds d'aquests segments seran ⁠b/a⁠ vegades la longitud dels segments de BC). Al costat BC etiqueteu els extrems esquerres dels segments amb A1 a An que comencen a B i van cap a C. Al costat AB etiqueteu els extrems superiors D1 a Dn que comencen a A i van cap a B. Els punts d'intersecció, AAi ∩ DDi per a 1 ≤ i ≤ n seran punts de l'el·lipse entre A i P(0, b). L'etiquetatge associa les línies del llapis a través d'A amb les línies del llapis a través de D projectivament però no en perspectiva. La cònica buscada s'obté mitjançant aquesta construcció, ja que tres punts A, D i P i dues tangents (les línies verticals a A i D) determinen de manera única la cònica. Si s'utilitza un altre diàmetre (i el seu diàmetre conjugat) en lloc dels eixos major i menor de l'el·lipse, s'utilitza un paral·lelogram que no és un rectangle en la construcció, donant el nom del mètode. L'associació de línies dels llapis es pot estendre per obtenir altres punts de l'el·lipse. Les construccions per a hipèrboles i paràboles són similars.x²/a² + y²/b² = 1

Un altre mètode general utilitza la propietat de polaritat per construir l'envolupant tangent d'una cònica (una cònica recta).

En la geometria complexa

En el pla de coordenades complex C² les el·lipses i les hipèrboles no són diferents: es pot considerar una hipèrbola com una el·lipse amb una longitud d'eix imaginari. Per exemple, l'el·lipse $x^{2}+y^{2}=1$ es converteix en una hipèrbola sota la substitució $y=iw,$ geomètricament una rotació complexa, donant lloc a $x^{2}-w^{2}=1$ . Així doncs, hi ha una classificació bidireccional: el·lipse/hipèrbola i paràbola. Si s'estén les corbes al pla projectiu complex, això correspon a intersecar la recta a l'infinit en 2 punts diferents (corresponents a dues asímptotes) o en 1 punt doble (corresponent a l'eix d'una paràbola); per tant, la hipèrbola real és una imatge real més suggestiva per a l'el·lipse/hipèrbola complexa, ja que també té 2 interseccions (reals) amb la recta a l'infinit.

Una unificació addicional es produeix en el pla projectiu complex CP² les còniques no degenerades no es poden distingir entre si, ja que qualsevol es pot portar a qualsevol altra mitjançant una transformació lineal projectiva.

Es pot demostrar que en CP², dues seccions còniques tenen quatre punts en comú (si es té en compte la multiplicitat), de manera que hi ha entre 1 i 4 punts d'intersecció. Les possibilitats d'intersecció són: quatre punts diferents, dos punts singulars i un punt doble, dos punts dobles, un punt singular i un amb multiplicitat 3, un punt amb multiplicitat 4. Si qualsevol punt d'intersecció té multiplicitat > 1, es diu que les dues corbes són tangents. Si hi ha un punt d'intersecció de multiplicitat com a mínim 3, es diu que les dues corbes són osculants. Si només hi ha un punt d'intersecció, que té multiplicitat 4, es diu que les dues corbes són superosculants.

A més, cada recta talla cada secció cònica dues vegades. Si el punt d'intersecció és doble, la recta és una recta tangent. En tallar la recta a l'infinit, cada secció cònica té dos punts a l'infinit. Si aquests punts són reals, la corba és una hipèrbola ; si són conjugats imaginaris, és una el·lipse; si només hi ha un punt doble, és una paràbola. Si els punts a l'infinit són els punts cíclics [1: i: 0] i [1: –i: 0], la secció cònica és una circumferència. Si els coeficients d'una secció cònica són reals, els punts a l'infinit són reals o conjugats complexos .

Casos degenerats

El que s'ha de considerar com un cas degenerat d'una cònica depèn de la definició que s'utilitzi i del context geomètric de la secció cònica. Hi ha alguns autors que defineixen una cònica com una quàdrica no degenerada bidimensional. Amb aquesta terminologia no hi ha còniques degenerades (només quàdriques degenerades), però utilitzarem la terminologia més tradicional i evitarem aquesta definició.

En el pla euclidià, utilitzant la definició geomètrica, un cas degenerat es produeix quan el pla tallant passa pel vèrtex del con. La cònica degenerada és: un punt, quan el pla interseca el con només al vèrtex; una línia recta, quan el pla és tangent al con (conté exactament una generadora del con); o un parell de línies que es tallen (dues generadores del con). Aquestes corresponen respectivament a les formes límit d'una el·lipse, una paràbola i una hipèrbola.

Si una cònica en el pla euclidià es defineix pels zeros d'una equació quadràtica (és a dir, com una quàdrica), aleshores les còniques degenerades són: el conjunt buit, un punt o un parell de rectes que poden ser paral·leles, intersectar-se en un punt o coincidir. El cas del conjunt buit pot correspondre a un parell de rectes paral·leles conjugades complexes, com ara amb l'equació $x^{2}+1=0,$ o a una el·lipse imaginària, com ara amb l'equació $x^{2}+y^{2}+1=0.$ Una el·lipse imaginària no satisfà la definició general de degeneració i, per tant, normalment no es considera degenerada. El cas de dues línies es produeix quan l'expressió quadràtica es factoritza en dos factors lineals, els zeros de cadascun donant una línia. En el cas que els factors siguin iguals, les línies corresponents coincideixen i ens referim a la línia com a línia doble (una línia amb multiplicitat 2) i aquest és el cas anterior d'un pla de tall tangent.

En el pla projectiu real, com que les rectes paral·leles es troben en un punt de la recta a l'infinit, el cas de rectes paral·leles del pla euclidià es pot veure com a rectes que es tallen. Tanmateix, com que el punt d'intersecció és el vèrtex del con, el con mateix degenera en un cilindre, és a dir, amb el vèrtex a l'infinit. Altres seccions en aquest cas s'anomenen seccions cilíndriques. Les seccions cilíndriques no degenerades són el·lipses (o cercles).

Vist des de la perspectiva del pla projectiu complex, els casos degenerats d'una quàdrica real (és a dir, l'equació quadràtica té coeficients reals) es poden considerar tots com un parell de rectes, possiblement coincidents. El conjunt buit pot ser la recta a l'infinit considerada com una recta doble, un punt (real) és la intersecció de dues rectes conjugades complexes i els altres casos com s'ha esmentat anteriorment.

Per distingir els casos degenerats dels casos no degenerats (inclòs el conjunt buit amb aquest últim) utilitzant la notació matricial, sigui β el determinant del 3 × 3 matriu de la secció cònica —és a dir, β = (AC − B²4)F + BED − CD² − AE²4; i sigui α = B2 − 4AC el discriminant. Aleshores, la secció cònica és no degenerada si i només si β ≠ 0. Si β = 0 tenim un punt quan α < 0, dues rectes paral·leles (possiblement coincidents) quan α = 0, o dues rectes que es tallen quan α > 0.

Llapis de còniques

Una cònica (no degenerada) està completament determinada per cinc punts en posició general (sense tres colineals) en un pla i el sistema de còniques que passen per un conjunt fix de quatre punts (de nou en un pla i sense tres colineals) s'anomena un llapis de còniques. Els quatre punts comuns s'anomenen punts base del llapis. Per qualsevol punt que no sigui un punt base, passa una sola cònica del llapis. Aquest concepte generalitza un llapis de cercles.

Intersecció de dues còniques

Les solucions d'un sistema de dues equacions de segon grau en dues variables es poden veure com les coordenades dels punts d'intersecció de dues seccions còniques genèriques. En particular, dues còniques poden tenir cap, dos o quatre punts d'intersecció possiblement coincidents. Un mètode eficient per localitzar aquestes solucions explota la representació matricial homogènia de les seccions còniques, és a dir, un 3 × 3 matriu simètrica que depèn de sis paràmetres.

El procediment per localitzar els punts d'intersecció segueix aquests passos, on les còniques es representen mitjançant matrius:

• donades les dues còniques $C_{1}$ i $C_{2}$, considereu el llapis de les còniques donat per la seva combinació lineal $\lambda C_{1}+\mu C_{2}.$
• identificar els paràmetres homogenis $[\lambda :\mu ]$ que corresponen a la cònica degenerada del llapis. Això es pot fer imposant la condició que $\det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0$ i resolent per $\lambda$ i $\mu$ . Aquestes resulten ser les solucions d'una equació de tercer grau.
• donada la cònica degenerada $C_{0}$, identifiqueu les dues línies, possiblement coincidents, que el constitueixen.
• interseca cada recta identificada amb qualsevol de les dues còniques originals.
• els punts d'intersecció representaran les solucions del sistema d'equacions inicial.

Generalitzacions

Les còniques es poden definir sobre altres camps (és a dir, en altres geometries pappianes). Tanmateix, cal anar amb compte quan el camp té la característica 2, ja que algunes fórmules no es poden utilitzar. Per exemple, les representacions matricials utilitzades anteriorment requereixen la divisió per 2.

Una generalització d'una cònica no degenerada en un pla projectiu és un oval. Un oval és un conjunt de punts que té les propietats següents, que també compleixen les còniques:1) qualsevol recta interseca un oval en cap, un o dos punts, 2) en qualsevol punt de l'oval existeix una única recta tangent.

La generalització de les propietats focals de les còniques al cas on hi ha més de dos focus produeix conjunts anomenats còniques generalitzades.

La intersecció d'un con el·líptic amb una esfera és una cònica esfèrica, que comparteix moltes propietats amb les còniques planes.

En altres àrees de les matemàtiques

La classificació en el·líptica, parabòlica i hiperbòlica és omnipresent en matemàtiques i sovint divideix un camp en subcamps clarament diferents. La classificació sorgeix principalment a causa de la presència d'una forma quadràtica (en dues variables això correspon al discriminant associat), però també pot correspondre a l'excentricitat.

Classificacions de formes quadràtiques:

Formes quadràtiques

Les formes quadràtiques sobre els reals es classifiquen segons la llei d'inèrcia de Sylvester, és a dir, pel seu índex positiu, índex zero i índex negatiu: una forma quadràtica en $n$ les variables es poden convertir a una forma diagonal, com a $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},$ on el nombre de coeficients +1, $k,$ és l'índex positiu, el nombre de coeficients −1, $\ell ,$ és l'índex negatiu i les variables restants són l'índex zero $m,$ així $k+\ell +m=n.$ En dues variables, les formes quadràtiques diferents de zero es classifiquen com:

• $x^{2}+y^{2}$ — definit positiu (també s'hi inclou el negatiu), corresponent a les el·lipses,
• $x^{2}$ — degenerades, corresponents a paràboles, i
• $x^{2}-y^{2}$ — indefinit, corresponent a hipèrboles.

En dues variables, les formes quadràtiques es classifiquen per discriminant, anàlogament a les còniques, però en dimensions superiors la classificació més útil és com a definida (totes positives o totes negatives), degenerada (alguns zeros) o indefinida (barreja de positives i negatives però sense zeros). Aquesta classificació és la base de moltes de les següents.

Curvatura

La curvatura gaussiana d'una superfície descriu la geometria infinitesimal, i pot ser en cada punt positiva – geometria el·líptica, zero – geometria euclidiana (pla, paràbola) o negativa – geometria hiperbòlica ; infinitesimalment, de segon ordre, la superfície sembla el gràfic de $x^{2}+y^{2},$$x^{2}$ (o 0), o $x^{2}-y^{2}$ . De fet, pel teorema d'uniformització, cada superfície es pot considerar globalment (en cada punt) corba positivament, plana o corba negativament. En dimensions superiors, el tensor de curvatura de Riemann és un objecte més complicat, però les varietats amb curvatura seccional constant són objectes d'estudi interessants i tenen propietats sorprenentment diferents, tal com es discuteix a curvatura seccional.

En aquest SVG interactiu, moveu-vos a l'esquerra i a la dreta sobre la imatge SVG per girar el doble con.

EDP de segon ordre

Les equacions diferencials parcials (EDP) de segon ordre es classifiquen en cada punt com a el·líptiques, parabòliques o hiperbòliques, segons que els seus termes de segon ordre corresponguin a una forma quadràtica el·líptica, parabòlica o hiperbòlica. El comportament i la teoria d'aquests diferents tipus d'EDP són sorprenentment diferents: exemples representatius són que l'equació de Poisson és el·líptica, l'equació de la calor és parabòlica i l'equació d'ona és hiperbòlica.

Les classificacions d'excentricitat inclouen:

Transformacions de Möbius

Les transformacions reals de Möbius (elements de PSL₂(R) o la seva cobertura 2-plec, SL₂(R) ) es classifiquen com a el·líptiques, parabòliques o hiperbòliques segons la seva semitraçada $0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,$$|\operatorname {tr} |/2=1,$ o $|\operatorname {tr} |/2>1,$ reflectint la classificació per excentricitat.

Ràtio de variància a mitjana

La relació entre la variància i la mitjana classifica diverses famílies importants de distribucions de probabilitat discretes: la distribució constant com a circular (excentricitat 0), les distribucions binomials com a el·líptiques, les distribucions de Poisson com a parabòliques i les distribucions binomials negatives com a hiperbòliques. Això s'elabora en els cumulants d'algunes distribucions de probabilitat discretes.

Bibliografia

• Akopyan, A.V.; Zaslavsky, A.A.. Geometry of Conics. American Mathematical Society, 2007. ISBN 978-0-8218-4323-9. 
• Artzy, Rafael (2008), Linear Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, <https://books.google.cat/books?id=2T4i5fXZbOYC>
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F. & Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6, <https://books.google.cat/books?id=q49lhAzXTFEC>
• Coxeter, H.S.M. (1964), Projective Geometry, Blaisdell, ISBN 9780387406237, <https://books.google.cat/books?id=gjAAI4FW0tsC>
• Coxeter, H.S.M. (1993), The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media
• Downs, J.W. (2003), Practical Conic Sections: The geometric properties of ellipses, parabolas and hyperbolas, Dover, ISBN 0-486-42876-1, <https://books.google.cat/books?id=PE7CAgAAQBAJ>
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Volume One), Boston: Allyn and Bacon
• Glaeser, Georg; Stachel, Hellmuth & Odehnal, Boris (2016), The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments, Berlin: Springer
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, <http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf>. Consulta: 20 setembre 2014 (PDF; 891 kB).
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8, <https://archive.org/details/historyofmathema00katz>
• Kendig, Keith (2005), Conics, The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-335-1
• Faulkner, T. E. (1952), Projective Geometry (2nd ed.), Edinburgh: Oliver and Boyd, ISBN 9780486154893, <https://books.google.cat/books?id=3TwCIg_O2yMC>
• Merserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9, <https://books.google.cat/books?id=Y6jDAgAAQBAJ>
• Protter, Murray H. & Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley
• Richter-Gebert, Jürgen. Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Springer, 2011. ISBN 9783642172854. 
• Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (Readings in Mathematics), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4, <https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu>
• Thomas, George B. & Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (fifth ed.), Addison-Wesley, p. 434, ISBN 0-201-07540-7
• Wilson, W.A. & Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (Revised ed.), D.C. Heath and Company

Vegeu també

• Teorema de Desargues per a feixos de còniques.
• Constant cònica.