Camp de desplaçament (mecànica)

Mecànica dels medis continus
Lleis Conservació de la massa Conservació de la quantitat de moviment Conservació de l'energia Desigualtat de l'entropia
Mecànica dels sòlids Sòlids Tensió Deformació Compatibilitat Elasticitat lineal Plasticitat Flexió Llei de Hooke Teories de falla Mecànica de la fractura Mecànica de contacte sense fricció amb fricció
Mecànica dels fluids Fluids Hidroestàtica Dinàmica de fluids Equacions de Navier-Stokes Principi de Bernoulli Flotabilitat Viscositat newtonians no newtonians Principi d'Arquimedes Principi de Pascal Pressió Líquids Tensió superficial Capil·laritat Gasos Atmosfera Llei de Boyle Llei de Charles Llei de Gay-Lussac Plasma
Reologia Viscoelasticitat Fluid intel·ligent magnetoreològic electroreològic ferrofluid Reometria Reòmetre
Científics Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes

En mecànica, un camp de desplaçament és l'assignació de vectors de desplaçament per a tots els punts d'una regió o cos que es desplacen d'un estat a un altre. Un vector de desplaçament especifica la posició d'un punt o una partícula en referència a un origen o a una posició anterior. Per exemple, un camp de desplaçament es pot utilitzar per descriure els efectes de la deformació sobre un cos sòlid.

Formulació

Abans de considerar el desplaçament, cal definir l'estat anterior a la deformació. És un estat en què les coordenades de tots els punts són conegudes i descrites per la funció: $${\vec {R}}_{0}:\Omega \to P$$ on

• ${\vec {R}}_{0}$ és un vector de col·locació
• $\Omega$ són tots els punts del cos
• $P$ són tots els punts de l'espai on el cos és present

Molt sovint és un estat del cos en què no s'apliquen forces.

Aleshores, donat qualsevol altre estat d'aquest cos en què les coordenades de tots els seus punts es descriuen com a ${\vec {R}}_{1}$ El camp de desplaçament és la diferència entre dos estats del cos: $${\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}$$ on ${\vec {u}}$ és un camp de desplaçament, que per a cada punt del cos especifica un vector de desplaçament.

Descomposició

Figura 1. Moviment d'un cos continu.

El desplaçament d'un cos té dos components: un desplaçament del cos rígid i una deformació.

• Un desplaçament d'un cos rígid consisteix en una translació i rotació del cos sense canviar-ne la forma ni la mida.
• La deformació implica el canvi de forma i/o mida del cos respecte a una configuració inicial o no deformada. $\kappa _{0}({\mathcal {B}})$ a una configuració actual o deformada $\kappa _{t}({\mathcal {B}})$ (Figura 1).

Un canvi en la configuració d'un cos continu es pot descriure mitjançant un camp de desplaçament. Un camp de desplaçament és un camp vectorial de tots els vectors de desplaçament per a totes les partícules del cos, que relaciona la configuració deformada amb la configuració no deformada. La distància entre dues partícules canvia si i només si s'ha produït una deformació. Si el desplaçament es produeix sense deformació, aleshores es tracta d'un desplaçament d'un cos rígid.

Tensor de gradient de desplaçament

Es poden definir dos tipus de tensor de gradient de desplaçament, seguint les especificacions lagrangianes i eulerianes. El desplaçament de les partícules indexades per la variable i es pot expressar de la següent manera. El vector que uneix les posicions d'una partícula en la configuració no deformada $P_{i}$ i configuració deformada $p_{i}$ s'anomena vector de desplaçament, $p_{i}-P_{i}$, denotat $u_{i}$ o $U_{i}$ a sota.

Coordenades materials (descripció lagrangiana)

Using $\mathbf {X}$ in place of $P_{i}$ and $\mathbf {x}$ in place of $p_{i}\,\!$, both of which are vectors from the origin of the coordinate system to each respective point, we have the Lagrangian description of the displacement vector: $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}$$ where $\mathbf {e} _{i}$ are the unit vectors that define the basis of the material (body-frame) coordinate system.

Expressat en termes de les coordenades del material, és a dir, $\mathbf {u}$ com a funció de $\mathbf {X}$, el camp de desplaçament és: $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}$$ on $\mathbf {b} (t)$ és el vector de desplaçament que representa la translació del cos rígid.

La derivada parcial del vector de desplaçament respecte a les coordenades del material dóna el tensor del gradient de desplaçament del material $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!$ Així tenim, $$\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}$$ on $\mathbf {F}$ és el tensor del gradient de deformació del material i $\mathbf {R}$ és una rotació.

Coordenades espacials (descripció euleriana)

En la descripció euleriana, el vector que s'estén des d'una partícula $P$ en la configuració no deformada fins a la seva ubicació en la configuració deformada s'anomena vector de desplaçament: $$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}$$ on $\mathbf {E} _{i}$ són els vectors unitaris ortonormals que defineixen la base del sistema de coordenades espacials (referent de laboratori).

Expressat en termes de coordenades espacials, és a dir, $\mathbf {U}$ com a funció de $\mathbf {x}$, el camp de desplaçament és: $$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{o}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}$$La derivada espacial, és a dir, la derivada parcial del vector de desplaçament respecte a les coordenades espacials, dóna el tensor del gradient de desplaçament espacial

$\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!$ Així tenim, $$\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{o}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,$$ on $\mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H}$ és el tensor del gradient de deformació espacial.

Relació entre els sistemes de coordenades materials i espacials

$\alpha _{Ji}$ are the direction cosines between the material and spatial coordinate systems with unit vectors $\mathbf {E} _{J}$ and $\mathbf {e} _{i}\,\!$, respectively. Thus

$$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}$$La relació entre $u_{i}$ i $U_{J}$ aleshores ve donat per $$u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{o}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}$$

Sabent això $$\mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}$$ llavors $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)$$

Combinació dels sistemes de coordenades de configuracions deformades i no deformades

És comú superposar els sistemes de coordenades per a les configuracions deformades i no deformades, cosa que resulta en $\mathbf {b} =0\,\!$, i els cosinus de direcció es converteixen en deltes de Kronecker, és a dir, $$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}$$

Així, en coordenades materials (no deformades), el desplaçament es pot expressar com: $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{o}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}$$I en coordenades espacials (deformades), el desplaçament es pot expressar com:

$$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{o}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}$$