Característica d'Euler

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, i més específicament en topologia algebraica i combinatòria polièdrica, la característica d'Euler (o característica d'Euler-Poincaré) és una invariant topològica, un nombre que descriu la forma o estructura en l'espai topològic independentment de la manera en que un políedre es col·loqui o es plegui. Normalment es denota amb la lletra grega khi: \chi.[1]

La característica d'Euler es va definir originàriament per a políedres i es va utilitzar per demostrar-ne diversos teoremes, incloent la classificació dels sòlids platònics. Leonhard Euler, que va ser qui va donar nom al concepte, va ser el responsable de gran part d'aquesta feina primerenca. En matemàtica moderna, la característica d'Euler sorgeix a partir de l'homologia i connecta amb moltes altres invariants.

En políedres[modifica | modifica el codi]

La característica d'Euler \chi era definida classicament per les superfícies del políedre, d'acord amb la fórmula

\chi=V-A+C \,\!

on V, A, i C són respectivament el nombre de vèrtexs, arestes i cares en el políedre donat. Qualsevol políedre convex té característica d'Euler

\chi = V - A + C = 2. \,\![2]

Aquest resultat es coneix com a fórmula o relació d'Euler.

Nom Imatge Vèrtexs
V
Arestes
A
Cares
C
Característica d'Euler:
VA + C
Tetraedre Tetràedre 4 6 4 2
Hexaedre o cub Cub 8 12 6 2
Octaedre Octàedre 6 12 8 2
Dodecaedre Dodecaedre 20 30 12 2
Icosaedre Icosaedre 12 30 20 2

Les superfícies de políedres no convexos poden tenir característiques d'Euler diferents:

Nom Imatge Vèrtexs
V
Arestes
A
Cares
C
Característica d'Euler:
VA + C
Tetrahemihexaedre Tetrahemihexaedre 6 12 7 1
Octahemioctaedre Octahemioctaedre 12 24 12 0
Cubohemioctaedre Cubohemioctaedre 12 24 10 −2
Gran icosaedre Gran icosaedre 12 30 20 2

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Vicenç Navarro i Pere Pascual. UB. Topologia algebraica, 1999. 
  2. Armengol Gasull. «La característica d'Euler. La fórmula de Pick.». UAB.