Circumferència de Ford

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Circumferències de Ford per q d'1 a 20. Les circumferències amb q ≤ 10 tenen escrita la fracció p/q i estan pintades segons q. Cada circumferència és tangent a la recta base i a les circumferències veïnes. Les fraccions irreduïbles amb el mateix denominador tenen circumferències de la mateixa mida.

En matemàtiques, una circumferència de Ford és una circumferència amb centre a i de radi on és una fracció irreduïble, és a dir, i són enters coprimers. Les circumferències de Ford són tangents a l'eix horitzontal i mai no s'intersequen: si se'n prenen dues qualssevol, són o bé tangents o bé disjuntes.[1]

Història[modifica]

Les circumferències de Ford són un conjunt especial de circumferències tangents. La recta base també pot considerar-se una circumferència, de radi infinit. Apol·loni de Perge estudià conjunts de circumferències tangents ja cap al 200 aC. El problema d'Apol·loni i el tamís apol·lonià duen el seu nom.[2] Al segle XVII René Descartes descobrí el teorema de Descartes, que relaciona els radis de quatre circumferències mútuament tangents.[2]

Les circumferències de Ford també apareixen al Sangaku (problemes geomètrics) de les matemàtiques japoneses. Un problema típic, presentat en una tauleta de 1824 a la prefectura de Gunma, tracta la relació entre tres circumferències mútuament tangents al damunt d'una recta, també tangent a les tres. Donada la mida de les dues circumferències grans exteriors, quina és la mida de la circumferència petita que hi ha entremig? La resposta és equivalent a una circumferència de Ford:[3]

Les circumferències de Ford deuen el nom al matemàtic estatunidenc Lester R. Ford, que va escriure sobre elles el 1938.[1]

Propietats[modifica]

La circumferència de Ford associada a la fracció es denota o Hi ha una circumferència de Ford associada a cada nombre racional. A més, la recta també es considera una circumferència de Ford, ja que podem considerar que té radi infinit, que és el cas

Dues circumferències de Ford diferents són o bé disjuntes o bé tangents entre elles. No hi ha cap parell de circumferències de Ford interiors que s'intersequin, per bé que hi ha una circumferència de Ford tangent a l'eix d'abscisses a cada punt d'aquest eix amb coordenades racionals. Si està entre 0 i 1, les circumferències de Ford tangents a poden ser descrites de diferents maneres. Són:

  1. les circumferències on [1]
  2. les circumferències associades amb les fraccions que estan al costat de en alguna seqüència de Farey,[1]
  3. les circumferències on és el següent antecessor més petit o més gran de a l'arbre de Stern–Brocot o on és el següent antecessor més petit o més gran de .[1]

Les circumferències de Ford també poden ser pensades com a corbes al pla complex. El grup modular de transformacions del pla complex envia les circumferències de Ford a altres circumferències de Ford.[1]

Interpretant la meitat superior del pla complex com a model del pla hiperbòlic (el model del semiplà de Poincaré), les circumferències de Ford també es poden interpretar com a tessel·lació del pla hiperbòlic mitjançant horocicles. Qualsevol parella de circumferències de Ford són congruents en geometria hiperbòlica.[4] Si i són circumferències de Ford tangents, aleshores la semicircumferència que uneix i i és perpendicular a l'eix d'abscisses és una recta hiperbòlica que també passa pel punt en què les dues circumferències són tangents entre elles.

Les circumferències de Ford són un subconjunt de les circumferències en un tamís apol·lonià generat per les rectes i i la circumferència [5]

Àrea total de les circumferències de Ford[modifica]

Hi ha una relació entre l'àrea de les circumferències de Ford, la funció φ d'Euler la funció zeta de Riemann i la constant d'Apéry [6] Com que les circumferències de Ford no s'intersequen, s'obté immediatament que l'àrea total de les circumferències de Ford

és menor que 1. De fet, l'àrea total de les circumferències de Ford ve donada per una suma infinita convergent, que es pot avaluar. De la definició, l'àrea és

Simplificant aquesta expressió s'obté

on la darrera igualtat reflecteix la funció generadora de Dirichlet per la funció φ d'Euler Com que s'obté finalment

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Ford, L. R. «Fractions». The American Mathematical Monthly, 45, 9, 1938, pàg. 586–601. DOI: 10.2307/2302799. JSTOR: 2302799.
  2. 2,0 2,1 Coxeter, H. S. M. «The problem of Apollonius». The American Mathematical Monthly, 75, 1968, pàg. 5–15. DOI: 10.2307/2315097.
  3. Fukagawa, Hidetosi; Pedoe, Dan. Japanese temple geometry problems. Winnipeg: Charles Babbage Research Centre, 1989. ISBN 0-919611-21-4. 
  4. Conway, John H. The sensual (quadratic) form. 26. Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997, p. 28–33 (Carus Mathematical Monographs). ISBN 0-88385-030-3. 
  5. Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. «Apollonian circle packings: number theory». Journal of Number Theory, 100, 1, 2003, pàg. 1–45. arXiv: math.NT/0009113. DOI: 10.1016/S0022-314X(03)00015-5.
  6. Marszalek, Wieslaw «Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties». Circuits, Systems and Signal Processing, 31, 4, 2012, pàg. 1279–1296. DOI: 10.1007/s00034-012-9392-3.

Enllaços externs[modifica]